Номер 7.2, страница 74 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.2, страница 74.

Условие.

7.2. Найдите область значений и промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = 4x^2 - 8x + 3;$

2) $f(x) = 4 - 12x - 0,3x^2.$

Решение.

1) $f(x) = 4x^2 - 8x + 3$

Данная функция является квадратичной, её график — парабола. Коэффициент $a$ при $x^2$ равен 4. Так как $a = 4 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Для нахождения области значений и промежутков монотонности найдем координаты вершины параболы $(x_в; y_в)$.

Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_в = -b / (2a)$:

$x_в = -(-8) / (2 \cdot 4) = 8 / 8 = 1$.

Ордината вершины является значением функции в точке $x_в$:

$y_в = f(1) = 4(1)^2 - 8(1) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.

Вершина параболы находится в точке $(1; -1)$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, в вершине достигается минимальное значение функции. Следовательно, область значений функции — это все значения от $-1$ включительно и выше.

Область значений: $E(f) = [-1; +\infty)$.

Функция убывает на промежутке слева от вершины и возрастает на промежутке справа от вершины.

Промежуток убывания: $(-\infty; 1]$.

Промежуток возрастания: $[1; +\infty)$.

Ответ: область значений $E(f) = [-1; +\infty)$; промежуток возрастания $[1; +\infty)$; промежуток убывания $(-\infty; 1]$.

2) $f(x) = 4 - 12x - 0,3x^2$

Перепишем функцию в стандартном виде: $f(x) = -0,3x^2 - 12x + 4$.

Это квадратичная функция, график — парабола. Коэффициент $a$ при $x^2$ равен -0,3. Так как $a = -0,3 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_в; y_в)$.

Абсцисса вершины:

$x_в = -b / (2a) = -(-12) / (2 \cdot (-0,3)) = 12 / (-0,6) = -20$.

Ордината вершины:

$y_в = f(-20) = 4 - 12(-20) - 0,3(-20)^2 = 4 + 240 - 0,3 \cdot 400 = 244 - 120 = 124$.

Вершина параболы находится в точке $(-20; 124)$.

Поскольку ветви параболы направлены вниз, в вершине достигается максимальное значение функции. Следовательно, область значений функции — это все значения от $124$ включительно и ниже.

Область значений: $E(f) = (-\infty; 124]$.

Функция возрастает на промежутке слева от вершины и убывает на промежутке справа от вершины.

Промежуток возрастания: $(-\infty; -20]$.

Промежуток убывания: $[-20; +\infty)$.

Ответ: область значений $E(f) = (-\infty; 124]$; промежуток возрастания $(-\infty; -20]$; промежуток убывания $[-20; +\infty)$.