Номер 7.8, страница 74 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.8, страница 74.

Условие.

7.8. Используя графический метод, установите количество корней уравнения $f(x) = g(x)$:

1) $f(x) = -x^2 + 6x - 7$; $g(x) = -\sqrt{x}$;

2) $f(x) = 4x - 2x^2$; $g(x) = -\frac{4}{x}$.

Решение.

1) $f(x) = -x^2 + 6x - 7$; $g(x) = -\sqrt{x}$

Для определения количества корней уравнения $f(x) = g(x)$ построим графики функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ в одной системе координат и найдем количество точек их пересечения.

1. Построим график функции $f(x) = -x^2 + 6x - 7$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($-1$).

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2(-1)} = 3$.
$y_0 = f(3) = -(3)^2 + 6(3) - 7 = -9 + 18 - 7 = 2$.
Вершина параболы находится в точке $(3, 2)$.

Найдем несколько контрольных точек для построения графика:
$f(1) = -1^2 + 6(1) - 7 = -2$, точка $(1, -2)$.
$f(4) = -4^2 + 6(4) - 7 = 1$, точка $(4, 1)$.
$f(5) = -5^2 + 6(5) - 7 = -2$, точка $(5, -2)$.

2. Построим график функции $g(x) = -\sqrt{x}$. Это ветвь параболы, симметричная оси Ox. Область определения функции: $x \ge 0$. График расположен в четвертой координатной четверти.

Найдем несколько контрольных точек для построения графика:
$g(0) = 0$, точка $(0, 0)$.
$g(1) = -1$, точка $(1, -1)$.
$g(4) = -2$, точка $(4, -2)$.
$g(9) = -3$, точка $(9, -3)$.

3. Построим оба графика в одной системе координат.
Анализируя расположение графиков, мы видим, что парабола и ветвь корня пересекаются. При $x=1$, $f(1) = -2$, а $g(1) = -1$, то есть $f(1) < g(1)$. При $x=4$, $f(4) = 1$, а $g(4) = -2$, то есть $f(4) > g(4)$. Так как на отрезке $[1, 4]$ обе функции непрерывны, существует как минимум одна точка пересечения. При $x=5$, $f(5)=-2$, а $g(5) = -\sqrt{5} \approx -2.24$, то есть $f(5) > g(5)$. При $x=9$, $f(9) = -81+54-7 = -34$, а $g(9)=-3$, то есть $f(9) < g(9)$. Так как на отрезке $[5, 9]$ обе функции непрерывны, существует еще одна точка пересечения. Таким образом, графики функций пересекаются в двух точках.

Ответ: 2

2) $f(x) = 4x - 2x^2$; $g(x) = -\frac{4}{x}$

Для определения количества корней уравнения $f(x) = g(x)$ построим графики функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ в одной системе координат и найдем количество точек их пересечения.

1. Построим график функции $f(x) = 4x - 2x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ равен $-2$.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-2)} = 1$.
$y_0 = f(1) = 4(1) - 2(1)^2 = 2$.
Вершина параболы находится в точке $(1, 2)$.

Найдем точки пересечения параболы с осью Ox (нули функции):
$4x - 2x^2 = 0 \implies 2x(2-x) = 0$.
$x_1=0$, $x_2=2$. Точки пересечения — $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

2. Построим график функции $g(x) = -\frac{4}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены во второй (при $x < 0$) и четвертой (при $x > 0$) координатных четвертях. Асимптоты — оси координат.

3. Построим оба графика в одной системе координат и проанализируем их взаимное расположение.
При $x < 0$: график параболы $f(x)$ расположен ниже оси Ox ($f(x) < 0$), а график гиперболы $g(x)$ — выше оси Ox ($g(x) > 0$). Следовательно, в этой области пересечений нет.
При $x > 0$: график гиперболы $g(x)$ расположен ниже оси Ox ($g(x) < 0$). График параболы $f(x)$ расположен выше или на оси Ox при $x \in (0, 2]$ и ниже оси Ox при $x > 2$. Таким образом, пересечение возможно только при $x > 2$.
На интервале $(2, +\infty)$ парабола $f(x)$ убывает от 0 до $-\infty$. Гипербола $g(x)$ на этом же интервале возрастает от $g(2)=-2$ до 0. Поскольку на одном конце интервала ($x=2$) $f(2) = 0 > g(2) = -2$, а при $x \to +\infty$ парабола уходит в $-\infty$ (то есть ее значения становятся меньше значений гиперболы), графики должны пересечься ровно один раз. Следовательно, уравнение имеет один корень.

Ответ: 1