Номер 7.11, страница 75 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.11, страница 75.

Условие.

7.11. Найдите координаты точки параболы $y = 2x^2 - 3x + 6$, у которой ордината на 12 больше абсциссы.

Решение.

7.11.

Пусть искомая точка на параболе имеет координаты $(x; y)$.
Уравнение параболы задано как $y = 2x^2 - 3x + 6$.
По условию задачи, ордината ($y$) точки на 12 больше ее абсциссы ($x$). Это соотношение можно выразить уравнением: $y = x + 12$.

Чтобы найти координаты искомой точки, необходимо решить систему уравнений, состоящую из уравнения параболы и уравнения, описывающего условие:
$y = 2x^2 - 3x + 6$
$y = x + 12$

Поскольку левые части уравнений равны, мы можем приравнять их правые части:
$2x^2 - 3x + 6 = x + 12$

Теперь преобразуем это уравнение в стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, перенеся все члены в левую часть:
$2x^2 - 3x - x + 6 - 12 = 0$
$2x^2 - 4x - 6 = 0$

Для упрощения вычислений разделим все члены уравнения на 2:
$x^2 - 2x - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдем значения $x$ по формуле корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

Мы нашли две абсциссы, удовлетворяющие условию. Теперь для каждого значения $x$ найдем соответствующую ординату $y$, используя уравнение $y = x + 12$:
1. При $x_1 = 3$:
$y_1 = 3 + 12 = 15$.
Следовательно, первая точка имеет координаты $(3; 15)$.
2. При $x_2 = -1$:
$y_2 = -1 + 12 = 11$.
Следовательно, вторая точка имеет координаты $(-1; 11)$.

Таким образом, существуют две точки на параболе, удовлетворяющие заданному условию.
Ответ: $(3; 15)$ и $(-1; 11)$.