Номер 7.13, страница 75 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.13, страница 75.

Условие.

7.13. Найдите наибольшее значение функции $y = -x^2 - 8x + 10$ на промежутке:

1) $[-5; -3]$; 2) $[-1; 0]$; 3) $[-11; -10]$.

Решение.

Дана функция $y = -x^2 - 8x + 10$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $-1$ (отрицательное число), ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет точку максимума в своей вершине.

Сначала найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$. Абсцисса вершины находится по формуле: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Для нашей функции $a = -1$, $b = -8$, $c = 10$.

$x_0 = -\frac{-8}{2 \cdot (-1)} = -\frac{-8}{-2} = -4$.

Теперь найдем ординату вершины, подставив $x_0 = -4$ в уравнение функции:

$y_0 = y(-4) = -(-4)^2 - 8(-4) + 10 = -16 + 32 + 10 = 26$.

Вершина параболы находится в точке $(-4; 26)$. Максимальное значение функции без ограничений равно 26.

Теперь определим наибольшее значение функции на каждом из указанных промежутков. Для нахождения наибольшего значения на отрезке необходимо вычислить значения функции на концах отрезка и в точке вершины, если она принадлежит отрезку, а затем выбрать наибольшее из полученных значений.

1) $[-5; -3]$

Абсцисса вершины $x_0 = -4$ принадлежит этому промежутку, поскольку $-5 \le -4 \le -3$. Так как вершина является точкой максимума для параболы с ветвями вниз, то наибольшее значение функции на данном промежутке будет достигаться именно в вершине.

$y_{наиб} = y(x_0) = y(-4) = 26$.

Для полной уверенности можно также найти значения на концах отрезка:

$y(-5) = -(-5)^2 - 8(-5) + 10 = -25 + 40 + 10 = 25$.

$y(-3) = -(-3)^2 - 8(-3) + 10 = -9 + 24 + 10 = 25$.

Сравнивая значения, видим, что $26 > 25$, следовательно, наибольшее значение равно 26.

Ответ: 26.

2) $[-1; 0]$

Абсцисса вершины $x_0 = -4$ не принадлежит этому промежутку. Промежуток $[-1; 0]$ расположен правее вершины. На интервале $[-4; +\infty)$ функция монотонно убывает.

Поскольку промежуток $[-1; 0]$ полностью входит в область убывания функции, наибольшее значение на этом отрезке будет достигаться в его левой точке, то есть при $x = -1$.

Вычислим значения на концах отрезка:

$y(-1) = -(-1)^2 - 8(-1) + 10 = -1 + 8 + 10 = 17$.

$y(0) = -(0)^2 - 8(0) + 10 = 10$.

Наибольшее из этих значений равно 17.

Ответ: 17.

3) $[-11; -10]$

Абсцисса вершины $x_0 = -4$ не принадлежит этому промежутку. Промежуток $[-11; -10]$ расположен левее вершины. На интервале $(-\infty; -4]$ функция монотонно возрастает.

Поскольку промежуток $[-11; -10]$ полностью входит в область возрастания функции, наибольшее значение на этом отрезке будет достигаться в его правой точке, то есть при $x = -10$.

Вычислим значения на концах отрезка:

$y(-11) = -(-11)^2 - 8(-11) + 10 = -121 + 88 + 10 = -23$.

$y(-10) = -(-10)^2 - 8(-10) + 10 = -100 + 80 + 10 = -10$.

Наибольшее из этих значений равно -10.

Ответ: -10.