Номер 7.18, страница 75 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.18, страница 75.

Условие.

7.18. Пусть $D$ — дискриминант квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$. Изобразите схематически график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, если:

1) $a > 0, D < 0, -\frac{b}{2a} < 0;$

2) $a < 0, D > 0, c < 0, -\frac{b}{2a} > 0;$

3) $a < 0, D = 0, -\frac{b}{2a} < 0.$

Решение.

Для построения схематических графиков квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ проанализируем влияние коэффициентов $a, c$ и дискриминанта $D$ на вид и расположение параболы.

• Знак коэффициента $a$ определяет направление ветвей параболы: если $a > 0$, ветви направлены вверх; если $a < 0$ — вниз.
• Дискриминант $D = b^2 - 4ac$ определяет количество точек пересечения с осью абсцисс (Ox): если $D > 0$, парабола пересекает ось Ox в двух точках; если $D = 0$, парабола касается оси Ox в одной точке (в своей вершине); если $D < 0$, парабола не имеет общих точек с осью Ox.
• Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. Знак $x_v$ показывает, в какой полуплоскости (левой или правой) относительно оси ординат (Oy) находится вершина параболы.
• Коэффициент $c$ равен значению функции при $x=0$, то есть $y(0) = c$. Это ордината точки пересечения параболы с осью Oy.

1) $a > 0, D < 0, -\frac{b}{2a} < 0$

Проанализируем заданные условия:

• $a > 0$: Ветви параболы направлены вверх.
• $D < 0$: График функции не пересекает ось абсцисс (Ox). Так как ветви направлены вверх, вся парабола расположена выше оси Ox.
• $x_v = -\frac{b}{2a} < 0$: Абсцисса вершины параболы отрицательна, следовательно, вершина находится в левой полуплоскости (слева от оси Oy).

Совокупность этих условий означает, что парабола с ветвями вверх расположена полностью выше оси Ox, а её вершина находится во второй координатной четверти. Ордината вершины $y_v = -\frac{D}{4a}$ будет положительной, так как $D < 0$ и $a > 0$.

Схематический график функции:

Ответ: График представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится во второй координатной четверти. График не пересекает ось Ox и расположен полностью в верхней полуплоскости.

2) $a < 0, D > 0, c < 0, -\frac{b}{2a} > 0$

Проанализируем заданные условия:

• $a < 0$: Ветви параболы направлены вниз.
• $D > 0$: График функции пересекает ось Ox в двух различных точках.
• $c < 0$: График пересекает ось Oy в точке с отрицательной ординатой ($y(0) = c$).
• $x_v = -\frac{b}{2a} > 0$: Абсцисса вершины параболы положительна, следовательно, вершина находится в правой полуплоскости (справа от оси Oy).

Так как ветви параболы направлены вниз и она пересекает ось Ox, её вершина должна находиться выше оси Ox ($y_v > 0$). Учитывая, что $x_v > 0$, вершина параболы расположена в первой координатной четверти. Произведение корней уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ равно $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$. Поскольку $a < 0$ и $c < 0$, их отношение $\frac{c}{a} > 0$. Это означает, что оба корня имеют одинаковый знак. Так как абсцисса вершины $x_v = \frac{x_1+x_2}{2}$ положительна, то и оба корня положительны. Таким образом, парабола пересекает положительную полуось Ox в двух точках.

Схематический график функции:

Ответ: График представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в первой координатной четверти. График пересекает ось Ox в двух точках с положительными абсциссами и ось Oy в точке с отрицательной ординатой.

3) $a < 0, D = 0, -\frac{b}{2a} < 0$

Проанализируем заданные условия:

• $a < 0$: Ветви параболы направлены вниз.
• $D = 0$: График функции касается оси Ox в одной точке, которая является вершиной параболы. Ордината вершины $y_v = 0$.
• $x_v = -\frac{b}{2a} < 0$: Абсцисса вершины параболы отрицательна.

Из этих условий следует, что вершина параболы лежит на оси Ox в точке с отрицательной абсциссой. Так как ветви направлены вниз, вся парабола, за исключением вершины, находится ниже оси Ox. Точка пересечения с осью Oy имеет ординату $y(0) = c$. Так как вершина находится в точке $(x_v, 0)$ с $x_v < 0$, то значение $c$ будет отрицательным.

Схематический график функции:

Ответ: График представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится на оси Ox в точке с отрицательной абсциссой, и это единственная точка пересечения графика с осью Ox. Весь остальной график расположен в нижней полуплоскости.