Номер 7.21, страница 76 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.21, страница 76.

Условие.

7.21. При каком значении параметра $b$ промежуток $(-\infty; -3]$ является промежутком убывания функции $y = 3x^2 + bx - 8$?

Решение.

Данная функция $y = 3x^2 + bx - 8$ является квадратичной. Ее график — парабола.

Коэффициент при $x^2$ равен 3, что является положительным числом ($a=3 > 0$), поэтому ветви параболы направлены вверх.

Парабола с ветвями, направленными вверх, убывает на промежутке от $-\infty$ до абсциссы своей вершины и возрастает на промежутке от абсциссы вершины до $+\infty$. Таким образом, промежуток убывания функции имеет вид $(-\infty; x_в]$, где $x_в$ — абсцисса вершины параболы.

Абсцисса вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ вычисляется по формуле: $x_в = -\frac{b}{2a}$.

Для заданной функции $a=3$, поэтому абсцисса вершины равна: $x_в = -\frac{b}{2 \cdot 3} = -\frac{b}{6}$.

Согласно условию задачи, промежуток убывания функции — это $(-\infty; -3]$. Следовательно, абсцисса вершины параболы должна быть равна -3:

$x_в = -3$

Приравниваем выражение для абсциссы вершины к этому значению и решаем полученное уравнение:

$-\frac{b}{6} = -3$

Умножим обе части уравнения на -6:

$b = (-3) \cdot (-6)$

$b = 18$

Таким образом, при $b=18$ промежуток $(-\infty; -3]$ является промежутком убывания данной функции.

Ответ: 18