Номер 7.22, страница 76 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.22, страница 76.

Условие.

7.22. При каких значениях параметра $a$ функция $y = 2x^2 - 4ax + 3$ возрастает на промежутке $[-1; 4]$?

Решение.

Данная функция $y = 2x^2 - 4ax + 3$ является квадратичной. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 2, что больше нуля.

Квадратичная функция с ветвями вверх убывает до своей вершины и возрастает после нее. Абсцисса вершины параболы $x_0$ находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2k}$. В нашем случае $k=2$, $b=-4a$, поэтому:

$x_0 = -\frac{-4a}{2 \cdot 2} = \frac{4a}{4} = a$

Таким образом, функция убывает на промежутке $(-\infty; a]$ и возрастает на промежутке $[a; +\infty)$.

Согласно условию задачи, функция должна возрастать на промежутке $[-1; 4]$. Это означает, что весь промежуток $[-1; 4]$ должен содержаться в промежутке возрастания функции, то есть в $[a; +\infty)$.

Для того чтобы отрезок $[-1; 4]$ был подмножеством луча $[a; +\infty)$, необходимо и достаточно, чтобы вершина параболы $x_0 = a$ находилась левее или совпадала с левой границей отрезка $[-1; 4]$.

Математически это условие записывается в виде неравенства:

$a \le -1$

Если это условие выполнено, то для любой точки $x$ из промежутка $[-1; 4]$ будет справедливо неравенство $x \ge -1 \ge a$, что и означает, что функция на этом промежутке возрастает.

Ответ: $a \le -1$, или $a \in (-\infty; -1]$.