Номер 7.15, страница 75 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.15, страница 75.

Условие.

7.15. При каких значениях параметров $a$ и $b$ нулями функции $y = ax^2 + bx + 7$ являются числа $-2$ и $3$?

Решение.

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. По условию задачи, числа $-2$ и $3$ являются нулями функции $y = ax^2 + bx + 7$. Это означает, что если подставить эти значения $x$ в уравнение функции, то получится верное равенство при $y=0$.

Таким образом, мы можем составить систему из двух уравнений с двумя неизвестными параметрами $a$ и $b$.

1. Подставим в уравнение функции $x = -2$ и $y = 0$:

$a(-2)^2 + b(-2) + 7 = 0$

$4a - 2b + 7 = 0$

2. Подставим в уравнение функции $x = 3$ и $y = 0$:

$a(3)^2 + b(3) + 7 = 0$

$9a + 3b + 7 = 0$

Теперь у нас есть система линейных уравнений:

$4a - 2b + 7 = 0$

$9a + 3b + 7 = 0$

Приведем систему к стандартному виду, перенеся свободные члены в правую часть:

$4a - 2b = -7$

$9a + 3b = -7$

Для решения системы используем метод алгебраического сложения. Умножим обе части первого уравнения на $3$, а второго на $2$, чтобы коэффициенты при переменной $b$ стали противоположными по знаку:

$3 \cdot (4a - 2b) = 3 \cdot (-7) \implies 12a - 6b = -21$

$2 \cdot (9a + 3b) = 2 \cdot (-7) \implies 18a + 6b = -14$

Теперь сложим почленно левые и правые части полученных уравнений:

$(12a - 6b) + (18a + 6b) = -21 + (-14)$

$30a = -35$

Найдем $a$:

$a = \frac{-35}{30} = -\frac{7 \cdot 5}{6 \cdot 5} = -\frac{7}{6}$

Подставим найденное значение $a = -\frac{7}{6}$ в первое уравнение исходной системы ($4a - 2b = -7$) для нахождения $b$:

$4 \left(-\frac{7}{6}\right) - 2b = -7$

$-\frac{28}{6} - 2b = -7$

$-\frac{14}{3} - 2b = -7$

Выразим $2b$:

$2b = 7 - \frac{14}{3}$

$2b = \frac{21}{3} - \frac{14}{3}$

$2b = \frac{7}{3}$

Найдем $b$:

$b = \frac{7}{3} \div 2 = \frac{7}{6}$

Таким образом, искомые значения параметров: $a = -\frac{7}{6}$ и $b = \frac{7}{6}$.

Ответ: $a = -\frac{7}{6}$, $b = \frac{7}{6}$.