Номер 7.19, страница 75 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.19, страница 75.

Условие.

7.19. Найдите все значения параметра $a$, при которых вершина параболы $y = -x^2 + 6x - a$ принадлежит оси абсцисс.

Решение.

Уравнение параболы дано в виде $y = -x^2 + 6x - a$. Это квадратичная функция вида $y = Ax^2 + Bx + C$, где коэффициенты равны $A = -1$, $B = 6$ и $C = -a$.

Координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$ находятся по формулам:

$x_в = -\frac{B}{2A}$

$y_в = y(x_в)$

Сначала найдем абсциссу (координату $x$) вершины:

$x_в = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = -\frac{6}{-2} = 3$.

Теперь найдем ординату (координату $y$) вершины, подставив найденное значение $x_в = 3$ в исходное уравнение параболы:

$y_в = -(3)^2 + 6 \cdot 3 - a = -9 + 18 - a = 9 - a$.

По условию задачи, вершина параболы должна принадлежать оси абсцисс. Ось абсцисс (ось $Ox$) — это множество точек, у которых ордината (координата $y$) равна нулю.

Следовательно, для выполнения условия задачи необходимо, чтобы ордината вершины параболы была равна нулю:

$y_в = 0$

Приравниваем полученное выражение для $y_в$ к нулю и решаем уравнение относительно параметра $a$:

$9 - a = 0$

$a = 9$

Таким образом, только при значении параметра $a = 9$ вершина параболы, имеющая координаты $(3, 0)$, будет лежать на оси абсцисс.

Ответ: $9$.