Номер 7.17, страница 75 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.17, страница 75.

Условие.

7.17. Пусть $D$ — дискриминант квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$. Изобразите схематически график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, если:

1) $a > 0, D > 0, c > 0, -\frac{b}{2a} > 0;$

2) $a > 0, D = 0, -\frac{b}{2a} < 0;$

3) $a < 0, D < 0, -\frac{b}{2a} > 0;$

4) $a < 0, c = 0, -\frac{b}{2a} < 0.$

Решение.

Для построения схематического графика квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ (параболы) необходимо проанализировать заданные условия для каждого случая. Положение и форма параболы определяются знаком коэффициента $a$, значением дискриминанта $D$, значением коэффициента $c$ и абсциссой вершины $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

1) $a > 0, D > 0, c > 0, -\frac{b}{2a} > 0$

Проанализируем каждое из условий:

• Коэффициент $a > 0$ указывает на то, что ветви параболы направлены вверх.

• Дискриминант $D > 0$ означает, что уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два различных действительных корня. Следовательно, график функции пересекает ось абсцисс (Ox) в двух точках.

• Коэффициент $c > 0$ определяет точку пересечения с осью ординат (Oy). График пересекает ось Oy в точке $(0, c)$, которая находится выше начала координат.

• Абсцисса вершины параболы $x_0 = -\frac{b}{2a} > 0$. Это значит, что вершина параболы и ее ось симметрии расположены справа от оси Oy (в правой полуплоскости).

Объединяя эти факты, получаем: парабола с ветвями вверх, пересекающая ось Ox в двух точках, должна иметь вершину ниже оси Ox (то есть ордината вершины $y_0 < 0$). Поскольку абсцисса вершины $x_0 > 0$, вершина находится в IV координатной четверти.

Ответ: Схематический график представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх. Вершина параболы расположена в IV координатной четверти. График пересекает ось Oy в положительной точке и имеет две точки пересечения с осью Ox.

2) $a > 0, D = 0, -\frac{b}{2a} < 0$

Проанализируем каждое из условий:

• $a > 0$: ветви параболы направлены вверх.

• $D = 0$: уравнение имеет один действительный корень. Это означает, что парабола касается оси Ox в одной точке, которая и является ее вершиной. Таким образом, ордината вершины $y_0 = 0$.

• $x_0 = -\frac{b}{2a} < 0$: абсцисса вершины параболы отрицательна. Следовательно, вершина находится на оси Ox слева от оси Oy.

Из этих условий следует, что вершина параболы — это точка $(x_0, 0)$ на отрицательной части оси Ox. Поскольку ветви направлены вверх, вся парабола, за исключением вершины, расположена в верхней полуплоскости ($y > 0$). Она пересекает ось Oy в точке $(0, c)$. Так как функция возрастает при $x > x_0$ и $0 > x_0$, значение $c = f(0)$ будет больше, чем $f(x_0) = 0$, то есть $c > 0$.

Ответ: Схематический график — это парабола с ветвями, направленными вверх. Вершина параболы лежит на отрицательной части оси Ox, касаясь ее. График пересекает ось Oy в точке выше начала координат.

3) $a < 0, D < 0, -\frac{b}{2a} > 0$

Проанализируем каждое из условий:

• $a < 0$: ветви параболы направлены вниз.

• $D < 0$: уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что график параболы не пересекает ось Ox. Так как ветви направлены вниз, вся парабола находится под осью Ox.

• $x_0 = -\frac{b}{2a} > 0$: абсцисса вершины параболы положительна. Вершина находится в правой полуплоскости.

Так как вся парабола расположена под осью Ox, ордината ее вершины $y_0$ должна быть отрицательной. Учитывая, что $x_0 > 0$, вершина параболы находится в IV координатной четверти. Точка пересечения с осью Oy, $(0, c)$, также должна лежать под осью Ox, следовательно $c < 0$.

Ответ: Схематический график — это парабола с ветвями, направленными вниз, полностью расположенная под осью Ox. Вершина параболы находится в IV координатной четверти.

4) $a < 0, c = 0, -\frac{b}{2a} < 0$

Проанализируем каждое из условий:

• $a < 0$: ветви параболы направлены вниз.

• $c = 0$: график функции проходит через точку $(0, 0)$, то есть через начало координат.

• $x_0 = -\frac{b}{2a} < 0$: абсцисса вершины параболы отрицательна. Вершина находится в левой полуплоскости.

Поскольку ветви параболы направлены вниз, а вершина находится слева от оси Oy ($x_0 < 0$), ордината вершины $y_0$ должна быть положительной, чтобы парабола могла пройти через точку $(0, 0)$ и иметь максимум левее оси Оу. Таким образом, вершина параболы находится во II координатной четверти. Так как парабола проходит через начало координат, у нее есть корень $x_1 = 0$. В силу симметрии относительно оси $x = x_0$, должен быть и второй корень $x_2 = 2x_0$. Поскольку $x_0 < 0$, второй корень $x_2$ также отрицателен. Это означает, что парабола пересекает ось Ox в двух точках: $(0, 0)$ и $(x_2, 0)$, где $x_2 < 0$.

Ответ: Схематический график — это парабола с ветвями, направленными вниз. Вершина параболы расположена во II координатной четверти. График проходит через начало координат и пересекает ось Ox в еще одной точке на отрицательной части оси.