Номер 7.10, страница 75 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.10, страница 75.

Условие.

7.10. Найдите координаты точки параболы $y = -x^2 + 9x + 9$, у которой:

1) абсцисса и ордината равны;

2) сумма абсциссы и ординаты равна 25.

Решение.

Дана парабола, заданная уравнением $y = -x^2 + 9x + 9$. Необходимо найти координаты точек на этой параболе, удовлетворяющих заданным условиям.

1) абсцисса и ордината равны;

Пусть $(x, y)$ – искомая точка. По условию, абсцисса ($x$) и ордината ($y$) равны, то есть $y = x$.
Чтобы найти координаты такой точки, нужно решить систему уравнений:
$ \begin{cases} y = -x^2 + 9x + 9 \\ y = x \end{cases} $
Подставим второе уравнение в первое:
$x = -x^2 + 9x + 9$
Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 + x - 9x - 9 = 0$
$x^2 - 8x - 9 = 0$
Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно $-9$, а сумма корней равна $8$. Корнями являются числа $9$ и $-1$.
$x_1 = 9$, $x_2 = -1$
Найдем соответствующие значения ординат, используя условие $y = x$:
Если $x_1 = 9$, то $y_1 = 9$. Получаем точку $(9, 9)$.
Если $x_2 = -1$, то $y_2 = -1$. Получаем точку $(-1, -1)$.
Таким образом, существуют две точки, удовлетворяющие данному условию.
Ответ: $(9, 9)$ и $(-1, -1)$.

2) сумма абсциссы и ординаты равна 25.

По условию, сумма абсциссы ($x$) и ординаты ($y$) равна 25, то есть $x + y = 25$. Отсюда можно выразить $y$: $y = 25 - x$.
Составим и решим систему уравнений:
$ \begin{cases} y = -x^2 + 9x + 9 \\ y = 25 - x \end{cases} $
Приравняем правые части уравнений:
$25 - x = -x^2 + 9x + 9$
Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - x - 9x + 25 - 9 = 0$
$x^2 - 10x + 16 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно $16$, а сумма корней равна $10$. Корнями являются числа $2$ и $8$.
$x_1 = 2$, $x_2 = 8$
Теперь найдем соответствующие значения ординат, используя соотношение $y = 25 - x$:
Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 25 - 2 = 23$. Получаем точку $(2, 23)$.
Если $x_2 = 8$, то $y_2 = 25 - 8 = 17$. Получаем точку $(8, 17)$.
Следовательно, есть две точки, удовлетворяющие этому условию.
Ответ: $(2, 23)$ и $(8, 17)$.