Номер 7.4, страница 74 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.4, страница 74.

Условие.

7.4. Постройте график функции:

1) $y = x^2 - 4x - 5;$

2) $y = -x^2 + 2x + 3;$

3) $y = 6x - x^2;$

4) $y = 2x^2 - 8x + 8;$

5) $y = x^2 - 2x + 4;$

6) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 3x - 4.$

Решение.

1) $y = x^2 - 4x - 5$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a = 1$, $b = -4$, $c = -5$. Графиком является парабола. Для ее построения выполним следующие шаги:

• Направление ветвей параболы:

  Так как коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

• Координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$:

  Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$:
  $x_в = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.
  Ордината вершины находится подстановкой $x_в$ в уравнение функции:
  $y_в = (2)^2 - 4(2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$.
  Координаты вершины: $(2, -9)$.

• Точки пересечения с осями координат:

  С осью ординат (Oy):
  При $x=0$, $y = 0^2 - 4(0) - 5 = -5$.
  Точка пересечения с осью Oy: $(0, -5)$.

  С осью абсцисс (Ox):
  При $y=0$, решаем квадратное уравнение $x^2 - 4x - 5 = 0$.
  Находим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$.
  Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 6}{2}$.
  $x_1 = \frac{4 - 6}{2} = -1$.
  $x_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5$.
  Точки пересечения с осью Ox: $(-1, 0)$ и $(5, 0)$.

• Построение графика:

  На координатной плоскости отмечаем вершину $(2, -9)$ и точки пересечения с осями: $(0, -5)$, $(-1, 0)$, $(5, 0)$. Ось симметрии параболы — прямая $x=2$. Можно отметить точку, симметричную $(0, -5)$ относительно оси симметрии, — это точка $(4, -5)$. Соединяем все точки плавной кривой.

Ответ: График функции — парабола с ветвями вверх, вершиной в точке $(2, -9)$, пересекающая ось Oy в точке $(0, -5)$ и ось Ox в точках $(-1, 0)$ и $(5, 0)$.

2) $y = -x^2 + 2x + 3$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = -1$, $b = 2$, $c = 3$. Графиком является парабола.

• Направление ветвей параболы:

  Так как $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

• Координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$:

  $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = -\frac{2}{-2} = 1$.
  $y_в = -(1)^2 + 2(1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$.
  Координаты вершины: $(1, 4)$.

• Точки пересечения с осями координат:

  С осью Oy:
  При $x=0$, $y = -(0)^2 + 2(0) + 3 = 3$.
  Точка пересечения с осью Oy: $(0, 3)$.

  С осью Ox:
  При $y=0$, решаем уравнение $-x^2 + 2x + 3 = 0$ (или $x^2 - 2x - 3 = 0$).
  $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.
  $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 4}{2}$.
  $x_1 = \frac{2 - 4}{2} = -1$.
  $x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3$.
  Точки пересечения с осью Ox: $(-1, 0)$ и $(3, 0)$.

• Построение графика:

  Отмечаем на координатной плоскости вершину $(1, 4)$ и точки пересечения с осями: $(0, 3)$, $(-1, 0)$, $(3, 0)$. Ось симметрии — $x=1$. Точка, симметричная $(0, 3)$, будет $(2, 3)$. Соединяем точки плавной кривой.

Ответ: График функции — парабола с ветвями вниз, вершиной в точке $(1, 4)$, пересекающая ось Oy в точке $(0, 3)$ и ось Ox в точках $(-1, 0)$ и $(3, 0)$.

3) $y = 6x - x^2$

Перепишем функцию в стандартном виде: $y = -x^2 + 6x$. Это квадратичная функция с коэффициентами $a = -1$, $b = 6$, $c = 0$. Графиком является парабола.

• Направление ветвей параболы:

  Так как $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

• Координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$:

  $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = -\frac{6}{-2} = 3$.
  $y_в = -(3)^2 + 6(3) = -9 + 18 = 9$.
  Координаты вершины: $(3, 9)$.

• Точки пересечения с осями координат:

  С осью Oy:
  При $x=0$, $y = -0^2 + 6(0) = 0$.
  Точка пересечения с осью Oy: $(0, 0)$.

  С осью Ox:
  При $y=0$, решаем уравнение $-x^2 + 6x = 0$.
  $x(-x + 6) = 0$.
  $x_1 = 0$, $x_2 = 6$.
  Точки пересечения с осью Ox: $(0, 0)$ и $(6, 0)$.

• Построение графика:

  Отмечаем на координатной плоскости вершину $(3, 9)$ и точки пересечения с осями $(0, 0)$ и $(6, 0)$. Ось симметрии — $x=3$. Можно найти дополнительную точку, например, при $x=1$, $y = -1+6=5$, точка $(1,5)$. Симметричная ей точка будет $(5,5)$. Соединяем точки плавной кривой.

Ответ: График функции — парабола с ветвями вниз, вершиной в точке $(3, 9)$, проходящая через начало координат $(0, 0)$ и пересекающая ось Ox в точке $(6, 0)$.

4) $y = 2x^2 - 8x + 8$

Квадратичная функция, $a = 2$, $b = -8$, $c = 8$. Графиком является парабола.

• Направление ветвей параболы:

  Так как $a = 2 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

• Координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$:

  $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$.
  $y_в = 2(2)^2 - 8(2) + 8 = 2 \cdot 4 - 16 + 8 = 8 - 16 + 8 = 0$.
  Координаты вершины: $(2, 0)$.

• Точки пересечения с осями координат:

  С осью Oy:
  При $x=0$, $y = 2(0)^2 - 8(0) + 8 = 8$.
  Точка пересечения с осью Oy: $(0, 8)$.

  С осью Ox:
  Поскольку ордината вершины $y_в = 0$, вершина параболы лежит на оси Ox. Следовательно, парабола касается оси Ox в одной точке.
  Решим уравнение $2x^2 - 8x + 8 = 0$, разделив на 2: $x^2 - 4x + 4 = 0$, что является полным квадратом $(x-2)^2=0$.
  Корень $x = 2$.
  Точка пересечения (касания) с осью Ox: $(2, 0)$.

• Построение графика:

  Отмечаем на координатной плоскости вершину $(2, 0)$ и точку пересечения с осью Oy $(0, 8)$. Ось симметрии — $x=2$. Точка, симметричная $(0, 8)$, будет $(4, 8)$. Соединяем точки плавной кривой.

Ответ: График функции — парабола с ветвями вверх, вершина которой находится в точке $(2, 0)$ и является точкой касания с осью Ox. Парабола пересекает ось Oy в точке $(0, 8)$.

5) $y = x^2 - 2x + 4$

Квадратичная функция, $a = 1$, $b = -2$, $c = 4$. Графиком является парабола.

• Направление ветвей параболы:

  Так как $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

• Координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$:

  $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$.
  $y_в = (1)^2 - 2(1) + 4 = 1 - 2 + 4 = 3$.
  Координаты вершины: $(1, 3)$.

• Точки пересечения с осями координат:

  С осью Oy:
  При $x=0$, $y = 0^2 - 2(0) + 4 = 4$.
  Точка пересечения с осью Oy: $(0, 4)$.

  С осью Ox:
  При $y=0$, решаем уравнение $x^2 - 2x + 4 = 0$.
  $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$.
  Так как $D < 0$, действительных корней нет. График не пересекает ось Ox. Это согласуется с тем, что вершина находится в точке $(1,3)$ (выше оси Ox), а ветви направлены вверх.

• Построение графика:

  Отмечаем на координатной плоскости вершину $(1, 3)$ и точку пересечения с осью Oy $(0, 4)$. Ось симметрии — $x=1$. Точка, симметричная $(0, 4)$, будет $(2, 4)$. Соединяем точки плавной кривой. Вся парабола расположена выше оси Ox.

Ответ: График функции — парабола с ветвями вверх, вершиной в точке $(1, 3)$. Парабола не пересекает ось Ox и пересекает ось Oy в точке $(0, 4)$.

6) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 3x - 4$

Квадратичная функция, $a = -\frac{1}{2}$, $b = 3$, $c = -4$. Графиком является парабола.

• Направление ветвей параболы:

  Так как $a = -\frac{1}{2} < 0$, ветви параболы направлены вниз.

• Координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$:

  $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = -\frac{3}{-1} = 3$.
  $y_в = -\frac{1}{2}(3)^2 + 3(3) - 4 = -\frac{1}{2} \cdot 9 + 9 - 4 = -4.5 + 5 = 0.5$.
  Координаты вершины: $(3, 0.5)$.

• Точки пересечения с осями координат:

  С осью Oy:
  При $x=0$, $y = -\frac{1}{2}(0)^2 + 3(0) - 4 = -4$.
  Точка пересечения с осью Oy: $(0, -4)$.

  С осью Ox:
  При $y=0$, решаем уравнение $-\frac{1}{2}x^2 + 3x - 4 = 0$. Умножим на -2:
  $x^2 - 6x + 8 = 0$.
  По теореме Виета, $x_1+x_2=6$ и $x_1 \cdot x_2=8$. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 4$.
  Точки пересечения с осью Ox: $(2, 0)$ и $(4, 0)$.

• Построение графика:

  Отмечаем на координатной плоскости вершину $(3, 0.5)$, точки пересечения с осями $(0, -4)$, $(2, 0)$ и $(4, 0)$. Ось симметрии $x=3$. Точка, симметричная $(0, -4)$, будет $(6, -4)$. Соединяем точки плавной кривой.

Ответ: График функции — парабола с ветвями вниз, вершиной в точке $(3, 0.5)$, пересекающая ось Oy в точке $(0, -4)$ и ось Ox в точках $(2, 0)$ и $(4, 0)$.