Номер 7.6, страница 74 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.6, страница 74.

Условие.

7.6. Постройте график функции $f(x) = x^2 - 6x + 8$. Пользуясь графиком, найдите, при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения, а при каких отрицательные.

Решение.

Для решения задачи сначала построим график функции $f(x) = x^2 - 6x + 8$, а затем, используя его, определим знаки функции.

Построение графика функции

Графиком квадратичной функции $f(x) = ax^2 + bx + c$ является парабола. В нашем случае $a=1, b=-6, c=8$.

1. Направление ветвей параболы

Так как коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Координаты вершины параболы

Абсцисса вершины находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:

$x_v = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$

Ордината вершины находится подстановкой $x_v$ в уравнение функции:

$y_v = f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 8 = 9 - 18 + 8 = -1$

Следовательно, вершина параболы находится в точке $(3, -1)$.

3. Точки пересечения с осями координат

Для нахождения точки пересечения с осью OY, подставим $x=0$:

$f(0) = 0^2 - 6 \cdot 0 + 8 = 8$. Точка пересечения с OY: $(0, 8)$.

Для нахождения точек пересечения с осью OX (нулей функции), решим уравнение $f(x)=0$:

$x^2 - 6x + 8 = 0$

Используем теорему Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 6$, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 8$. Отсюда легко находим корни:

$x_1 = 2$, $x_2 = 4$

Точки пересечения с OX: $(2, 0)$ и $(4, 0)$.

4. Дополнительные точки для построения

Ось симметрии параболы — прямая $x=3$. Найдем точку, симметричную точке $(0, 8)$ относительно этой оси. Ее абсцисса будет $x = 3 + (3-0) = 6$. Ордината будет такой же: $y=8$. Точка $(6, 8)$.

Для построения графика мы имеем ключевые точки: вершину $(3, -1)$, нули $(2, 0)$ и $(4, 0)$, и точки $(0, 8)$ и $(6, 8)$. Соединив их плавной линией, получим параболу.

Анализ графика

Теперь, пользуясь построенным графиком, найдем, при каких значениях аргумента функция принимает положительные и отрицательные значения.

Значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения

Функция принимает положительные значения ($f(x) > 0$) там, где ее график находится выше оси OX. Глядя на график, мы видим, что это происходит левее точки $x=2$ и правее точки $x=4$.

Ответ: $x \in (-\infty, 2) \cup (4, \infty)$.

Значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения

Функция принимает отрицательные значения ($f(x) < 0$) там, где ее график находится ниже оси OX. Это происходит на интервале между точками пересечения с осью, то есть между $x=2$ и $x=4$.

Ответ: $x \in (2, 4)$.