Номер 7.5, страница 74 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.5, страница 74.

Условие.

7.5. Постройте график функции:

1) $y = x^2 + 2x - 8;$

2) $y = x^2 - 2x;$

3) $y = -x^2 + 4x - 5;$

4) $y = 2x^2 - 2x - 4.$

Решение.

1) Для построения графика функции $y = x^2 + 2x - 8$ выполним следующие действия:
1. Графиком данной квадратичной функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$), ветви параболы направлены вверх.
2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ по формулам $x_0 = -b/(2a)$ и $y_0 = y(x_0)$.
$x_0 = -2 / (2 \cdot 1) = -1$.
$y_0 = (-1)^2 + 2(-1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(-1, -9)$.
3. Найдем точки пересечения графика с осями координат.
При $x=0$, $y = -8$. Точка пересечения с осью OY: $(0, -8)$.
При $y=0$, решаем уравнение $x^2 + 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -4$. Точки пересечения с осью OX: $(2, 0)$ и $(-4, 0)$.
4. Построим на координатной плоскости вершину параболы и точки пересечения с осями. Соединим их плавной кривой, учитывая, что прямая $x=-1$ является осью симметрии.
Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(-1, -9)$, ветвями направленными вверх. Точки пересечения с осями: с OY — $(0, -8)$, с OX — $(-4, 0)$ и $(2, 0)$.

2) Для построения графика функции $y = x^2 - 2x$ выполним следующие действия:
1. Графиком является парабола. Коэффициент $a=1 > 0$, значит, ветви параболы направлены вверх.
2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.
$x_0 = -(-2) / (2 \cdot 1) = 1$.
$y_0 = 1^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$.
Вершина параболы находится в точке $(1, -1)$.
3. Найдем точки пересечения графика с осями координат.
При $x=0$, $y = 0$. График проходит через начало координат. Точка пересечения с осью OY: $(0, 0)$.
При $y=0$, решаем уравнение $x^2 - 2x = 0$, или $x(x - 2) = 0$. Корни $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Точки пересечения с осью OX: $(0, 0)$ и $(2, 0)$.
4. Для более точного построения найдем еще одну точку. Например, при $x=3$, $y = 3^2 - 2(3) = 9 - 6 = 3$. Точка $(3, 3)$. Симметричная ей точка относительно оси $x=1$ будет $(-1, 3)$.
5. Отметим найденные точки $(1, -1)$, $(0, 0)$, $(2, 0)$, $(3, 3)$, $(-1, 3)$ на координатной плоскости и соединим их плавной линией.
Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(1, -1)$, ветвями направленными вверх. Точки пересечения с осями: $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

3) Для построения графика функции $y = -x^2 + 4x - 5$ выполним следующие действия:
1. Графиком является парабола. Коэффициент $a=-1 < 0$, значит, ветви параболы направлены вниз.
2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.
$x_0 = -4 / (2 \cdot (-1)) = 2$.
$y_0 = -(2)^2 + 4(2) - 5 = -4 + 8 - 5 = -1$.
Вершина параболы находится в точке $(2, -1)$.
3. Найдем точки пересечения графика с осями координат.
При $x=0$, $y = -5$. Точка пересечения с осью OY: $(0, -5)$.
При $y=0$, решаем уравнение $-x^2 + 4x - 5 = 0$. Дискриминант $D = 4^2 - 4(-1)(-5) = 16 - 20 = -4$. Так как $D < 0$, действительных корней нет, и парабола не пересекает ось OX.
4. Найдем дополнительные точки. Возьмем точку, симметричную точке $(0, -5)$ относительно оси симметрии $x=2$. Это будет точка $(4, -5)$.
При $x=1$, $y = -1^2 + 4(1) - 5 = -1 + 4 - 5 = -2$. Точка $(1, -2)$. Симметричная ей точка $(3, -2)$.
5. Отметим найденные точки $(2, -1)$, $(0, -5)$, $(4, -5)$, $(1, -2)$, $(3, -2)$ на координатной плоскости и соединим их плавной кривой.
Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(2, -1)$, ветвями направленными вниз. Точка пересечения с осью OY: $(0, -5)$. Ось OX график не пересекает.

4) Для построения графика функции $y = 2x^2 - 2x - 4$ выполним следующие действия:
1. Графиком является парабола. Коэффициент $a=2 > 0$, значит, ветви параболы направлены вверх.
2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.
$x_0 = -(-2) / (2 \cdot 2) = 2 / 4 = 0.5$.
$y_0 = 2(0.5)^2 - 2(0.5) - 4 = 2(0.25) - 1 - 4 = 0.5 - 5 = -4.5$.
Вершина параболы находится в точке $(0.5, -4.5)$.
3. Найдем точки пересечения графика с осями координат.
При $x=0$, $y = -4$. Точка пересечения с осью OY: $(0, -4)$.
При $y=0$, решаем уравнение $2x^2 - 2x - 4 = 0$. Разделим обе части на 2: $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$. Точки пересечения с осью OX: $(2, 0)$ и $(-1, 0)$.
4. Отметим найденные точки $(0.5, -4.5)$, $(0, -4)$, $(2, 0)$, $(-1, 0)$ на координатной плоскости. Найдем точку, симметричную $(0, -4)$ относительно оси $x=0.5$. Это точка $(1, -4)$. Соединим все точки плавной кривой.
Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(0.5, -4.5)$, ветвями направленными вверх. Точки пересечения с осями: с OY — $(0, -4)$, с OX — $(-1, 0)$ и $(2, 0)$.