Номер 7.7, страница 74 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.7, страница 74.

Условие.

7.7. Постройте график функции $f(x) = -x^2 - 6x - 5$. Пользуясь графиком, найдите множество решений неравенства $f(x) > 0$.

Решение.

Постройте график функции $f(x) = -x^2 - 6x - 5$.

1. График функции $f(x) = -x^2 - 6x - 5$ является параболой. Так как коэффициент при $x^2$ равен $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
2. Найдем координаты вершины параболы $(x_v; y_v)$.
Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -b/(2a)$:
$x_v = -(-6) / (2 \cdot (-1)) = 6 / (-2) = -3$.
Ордината вершины является значением функции в точке $x_v$:
$y_v = f(-3) = -(-3)^2 - 6(-3) - 5 = -9 + 18 - 5 = 4$.
Координаты вершины параболы: $(-3; 4)$.
3. Найдем точки пересечения параболы с осями координат.
- С осью ординат (Oy), подставив $x = 0$ в уравнение функции:
$f(0) = -0^2 - 6 \cdot 0 - 5 = -5$. Точка пересечения с Oy: $(0; -5)$.
- С осью абсцисс (Ox), решив уравнение $f(x) = 0$ для нахождения корней:
$-x^2 - 6x - 5 = 0$
Умножим обе части уравнения на -1:
$x^2 + 6x + 5 = 0$
Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = -5$ и $x_2 = -1$.
Точки пересечения с Ox: $(-5; 0)$ и $(-1; 0)$.
4. На основе найденных ключевых точек (вершина $(-3; 4)$, точки пересечения с осями $(-5; 0)$, $(-1; 0)$, $(0; -5)$) строим параболу.

Ответ: Построенный график — парабола с вершиной в точке $(-3; 4)$, ветви которой направлены вниз. Парабола пересекает ось Ox в точках $(-5; 0)$ и $(-1; 0)$ и ось Oy в точке $(0; -5)$.

Пользуясь графиком, найдите множество решений неравенства $f(x) > 0$.

Неравенство $f(x) > 0$ выполняется для тех значений $x$, при которых график функции $f(x)$ расположен выше оси абсцисс (Ox).
Анализируя построенный график, мы видим, что парабола находится выше оси Ox на интервале между точками ее пересечения с этой осью, то есть между $x = -5$ и $x = -1$.
Поскольку неравенство является строгим ($>$), сами точки пересечения (корни) в решение не включаются.

Ответ: $x \in (-5; -1)$.