Номер 7.12, страница 75 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.12, страница 75.

Условие.

7.12. Найдите наименьшее значение функции $y = 3x^2 - 18x + 2$ на промежутке:

1) $[-1; 4];$

2) $[-4; 1];$

3) $[4; 5].$

Решение.

Дана функция $y = 3x^2 - 18x + 2$. Это квадратичная функция, график которой — парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ равен 3 (положительное число), ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет наименьшее значение в своей вершине.

Для нахождения наименьшего значения функции на отрезке необходимо:

1. Найти абсциссу вершины параболы $x_в$.
2. Если вершина принадлежит заданному промежутку, то наименьшее значение функции будет в вершине.
3. Если вершина не принадлежит промежутку, то наименьшее значение нужно искать на концах этого промежутка.

Найдем абсциссу вершины параболы по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$:

$x_в = -\frac{-18}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$.

Теперь рассмотрим каждый промежуток отдельно.

1) [-1; 4]

Абсцисса вершины $x_в = 3$ принадлежит данному промежутку, так как выполняется неравенство $-1 \le 3 \le 4$.

Поскольку вершина параболы является точкой минимума функции, а сама вершина находится внутри рассматриваемого отрезка, то наименьшее значение функции на этом отрезке будет достигаться именно в вершине.

Найдем значение функции в этой точке:

$y_{наим} = y(3) = 3(3)^2 - 18(3) + 2 = 3 \cdot 9 - 54 + 2 = 27 - 54 + 2 = -25$.

Ответ: -25.

2) [-4; 1]

Абсцисса вершины $x_в = 3$ не принадлежит данному промежутку, так как $3$ не входит в отрезок $[-4; 1]$.

Так как ветви параболы направлены вверх, функция убывает на промежутке $(-\infty; 3]$. Весь рассматриваемый отрезок $[-4; 1]$ находится левее вершины, следовательно, на этом отрезке функция монотонно убывает.

Наименьшее значение убывающей функции на отрезке достигается в его правом конце, то есть при $x = 1$.

Найдем это значение:

$y_{наим} = y(1) = 3(1)^2 - 18(1) + 2 = 3 - 18 + 2 = -13$.

Ответ: -13.

3) [4; 5]

Абсцисса вершины $x_в = 3$ не принадлежит данному промежутку, так как $3$ не входит в отрезок $[4; 5]$.

Так как ветви параболы направлены вверх, функция возрастает на промежутке $[3; +\infty)$. Весь рассматриваемый отрезок $[4; 5]$ находится правее вершины, следовательно, на этом отрезке функция монотонно возрастает.

Наименьшее значение возрастающей функции на отрезке достигается в его левом конце, то есть при $x = 4$.

Найдем это значение:

$y_{наим} = y(4) = 3(4)^2 - 18(4) + 2 = 3 \cdot 16 - 72 + 2 = 48 - 72 + 2 = -22$.

Ответ: -22.