Номер 7.9, страница 75 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.9, страница 75.

Условие.

7.9. Используя графический метод, установите количество корней уравнения $x^2 + 4x + 1 = \frac{6}{x}$.

Решение.

Чтобы установить количество корней уравнения $x^2 + 4x + 1 = \frac{6}{x}$ графическим методом, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = x^2 + 4x + 1$ и $y = \frac{6}{x}$. Количество точек пересечения этих графиков будет равно количеству корней исходного уравнения.

1. Анализ и построение графика функции $y = x^2 + 4x + 1$.
Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх.
Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.
$y_0 = (-2)^2 + 4(-2) + 1 = 4 - 8 + 1 = -3$.
Вершина параболы находится в точке $(-2, -3)$.
Для более точного построения найдем еще несколько точек, принадлежащих графику:
при $x=1$, $y = 1^2 + 4(1) + 1 = 6$; точка $(1, 6)$.
при $x=0$, $y = 0^2 + 4(0) + 1 = 1$; точка $(0, 1)$.
при $x=-1$, $y = (-1)^2 + 4(-1) + 1 = -2$; точка $(-1, -2)$.
при $x=-3$, $y = (-3)^2 + 4(-3) + 1 = -2$; точка $(-3, -2)$.

2. Анализ и построение графика функции $y = \frac{6}{x}$.
Данная функция является обратной пропорциональностью, ее график — гипербола. Поскольку коэффициент $k=6$ положителен, ветви гиперболы располагаются в I и III координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат $x=0$ и $y=0$.
Найдем несколько точек, принадлежащих графику:
при $x=1$, $y = \frac{6}{1} = 6$; точка $(1, 6)$.
при $x=2$, $y = \frac{6}{2} = 3$; точка $(2, 3)$.
при $x=-2$, $y = \frac{6}{-2} = -3$; точка $(-2, -3)$.
при $x=-3$, $y = \frac{6}{-3} = -2$; точка $(-3, -2)$.

3. Определение количества корней.
Построим графики параболы $y = x^2 + 4x + 1$ и гиперболы $y = \frac{6}{x}$ в одной системе координат. Количество точек их пересечения соответствует количеству корней уравнения.
Из вычислений, проведенных выше, видно, что графики имеют три общие точки: $(1, 6)$, $(-2, -3)$ и $(-3, -2)$.
Следовательно, графики функций пересекаются в трех точках. Это означает, что исходное уравнение имеет три корня.

Ответ: 3.