Номер 7.3, страница 74 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.3, страница 74.

Условие.

7.3. Найдите область значений и промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = 2x^2 - 12x + 8$;

2) $f(x) = 9 + 8x - 0,2x^2$.

Решение.

1) $f(x) = 2x^2 - 12x + 8$

Данная функция является квадратичной, ее график – парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=2$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, в вершине параболы функция достигает своего наименьшего значения.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$.

Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:

$x_v = -\frac{-12}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$.

Ордината вершины $y_v$ является значением функции в точке $x_v$:

$y_v = f(3) = 2 \cdot 3^2 - 12 \cdot 3 + 8 = 2 \cdot 9 - 36 + 8 = 18 - 36 + 8 = -10$.

Поскольку вершина является точкой минимума, наименьшее значение функции равно -10. Таким образом, область значений функции – это все числа, не меньшие -10.

Область значений: $E(f) = [-10; +\infty)$.

Функция убывает на промежутке слева от вершины (от $-\infty$ до $x_v$) и возрастает на промежутке справа от вершины (от $x_v$ до $+\infty$).

Промежуток убывания: $(-\infty; 3]$.

Промежуток возрастания: $[3; +\infty)$.

Ответ: область значений функции – $[-10; +\infty)$; функция убывает на промежутке $(-\infty; 3]$ и возрастает на промежутке $[3; +\infty)$.

2) $f(x) = 9 + 8x - 0,2x^2$

Перепишем функцию в стандартном виде: $f(x) = -0,2x^2 + 8x + 9$.

Это квадратичная функция, ее график – парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=-0,2$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Следовательно, в вершине параболы функция достигает своего наибольшего значения.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$.

Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a}$:

$x_v = -\frac{8}{2 \cdot (-0,2)} = -\frac{8}{-0,4} = 20$.

Ордината вершины $y_v$ является значением функции в точке $x_v$:

$y_v = f(20) = -0,2 \cdot 20^2 + 8 \cdot 20 + 9 = -0,2 \cdot 400 + 160 + 9 = -80 + 160 + 9 = 89$.

Поскольку вершина является точкой максимума, наибольшее значение функции равно 89. Таким образом, область значений функции – это все числа, не большие 89.

Область значений: $E(f) = (-\infty; 89]$.

Функция возрастает на промежутке слева от вершины (от $-\infty$ до $x_v$) и убывает на промежутке справа от вершины (от $x_v$ до $+\infty$).

Промежуток возрастания: $(-\infty; 20]$.

Промежуток убывания: $[20; +\infty)$.

Ответ: область значений функции – $(-\infty; 89]$; функция возрастает на промежутке $(-\infty; 20]$ и убывает на промежутке $[20; +\infty)$.