Номер 7.1, страница 74 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.1, страница 74.

Условие.

7.1. Определите направление ветвей и координаты вершины параболы:

1) $y = x^2 - 12x + 3;$

2) $y = -5x^2 + 10x + 2.$

Решение.

1) $y = x^2 - 12x + 3$

Это уравнение параболы вида $y = ax^2 + bx + c$, где коэффициенты равны $a=1$, $b=-12$, $c=3$.

Направление ветвей параболы определяется знаком коэффициента $a$. В данном случае $a = 1$, что больше нуля ($a > 0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ вычисляются по формулам:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

$y_0 = y(x_0) = ax_0^2 + bx_0 + c$

Найдем абсциссу (координату x) вершины:

$x_0 = -\frac{-12}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6$

Теперь найдем ординату (координату y) вершины, подставив значение $x_0 = 6$ в исходное уравнение:

$y_0 = (6)^2 - 12 \cdot 6 + 3 = 36 - 72 + 3 = -33$

Таким образом, координаты вершины параболы равны $(6, -33)$.

Ответ: ветви параболы направлены вверх, координаты вершины $(6, -33)$.

2) $y = -5x^2 + 10x + 2$

Это уравнение параболы вида $y = ax^2 + bx + c$, где коэффициенты равны $a=-5$, $b=10$, $c=2$.

Направление ветвей параболы определяется знаком коэффициента $a$. В данном случае $a = -5$, что меньше нуля ($a < 0$), следовательно, ветви параболы направлены вниз.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ вычисляются по тем же формулам:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

$y_0 = y(x_0)$

Найдем абсциссу (координату x) вершины:

$x_0 = -\frac{10}{2 \cdot (-5)} = -\frac{10}{-10} = 1$

Теперь найдем ординату (координату y) вершины, подставив значение $x_0 = 1$ в исходное уравнение:

$y_0 = -5 \cdot (1)^2 + 10 \cdot 1 + 2 = -5 + 10 + 2 = 7$

Таким образом, координаты вершины параболы равны $(1, 7)$.

Ответ: ветви параболы направлены вниз, координаты вершины $(1, 7)$.