Номер 6.21, страница 67 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 6. Построение графиков функций y = f(|x|) и y = |f(x)| - номер 6.21, страница 67.

Условие.

6.21. При каких значениях параметра $a$ уравнение $|3|x+1|-2|=a-x$ имеет три корня?

Решение.

Решим задачу графическим методом в координатной плоскости $(x, y)$.

Исходное уравнение $|3|x+1|-2| = a - x$ равносильно системе $\begin{cases} y = |3|x+1|-2| \\ y = a - x \end{cases}$.

Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций $y = |3|x+1|-2|$ и $y = a - x$.

1. Построим график функции $y = |3|x+1|-2|$.

Построение можно выполнить последовательными преобразованиями:

1. $y_1 = x+1$ — прямая.
2. $y_2 = |x+1|$ — график получается из $y_1$ отражением части прямой, лежащей ниже оси $Ox$, относительно этой оси. Вершина в точке $(-1, 0)$.
3. $y_3 = 3|x+1|$ — график получается из $y_2$ растяжением в 3 раза вдоль оси $Oy$. Вершина в точке $(-1, 0)$.
4. $y_4 = 3|x+1|-2$ — график получается из $y_3$ сдвигом на 2 единицы вниз вдоль оси $Oy$. Вершина в точке $(-1, -2)$.
5. $y = |3|x+1|-2|$ — график получается из $y_4$ отражением части графика, лежащей ниже оси $Ox$, относительно этой оси.

Найдем ключевые точки графика $y = |3|x+1|-2|$:

• Точки пересечения с осью $Ox$ (нули функции):
  $|3|x+1|-2| = 0 \implies 3|x+1|-2 = 0 \implies |x+1| = \frac{2}{3}$.
  Отсюда $x+1 = \frac{2}{3}$ или $x+1 = -\frac{2}{3}$.
  Получаем $x_1 = -\frac{1}{3}$ и $x_2 = -\frac{5}{3}$.
  Точки пересечения с осью $Ox$ (локальные минимумы): $(-\frac{5}{3}, 0)$ и $(-\frac{1}{3}, 0)$.
• Вершина "пика" графика соответствует вершине параболы $y_4=3|x+1|-2$, отраженной вверх. Координата $x$ этой вершины равна $-1$.
  При $x=-1$, $y = |3|-1+1|-2| = |0-2| = 2$.
  Точка локального максимума: $(-1, 2)$.

График функции $y = |3|x+1|-2|$ представляет собой "W"-образную ломаную с вершинами в точках $(-\frac{5}{3}, 0)$, $(-1, 2)$ и $(-\frac{1}{3}, 0)$.

2. Проанализируем график функции $y = a - x$.

График функции $y = -x+a$ — это семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $k=-1$. Параметр $a$ является ординатой точки пересечения прямой с осью $Oy$ и отвечает за параллельный перенос прямой вдоль этой оси.

3. Определим количество точек пересечения.

Будем мысленно перемещать прямую $y = -x+a$ по координатной плоскости и считать количество точек пересечения с графиком $y = |3|x+1|-2|$. Нас интересуют случаи, когда точек пересечения ровно три.

Изменение количества точек пересечения происходит, когда прямая проходит через одну из вершин ломаной.

• Случай 1: Прямая проходит через точку $(-\frac{1}{3}, 0)$.
  Подставим координаты точки в уравнение прямой: $0 = -(-\frac{1}{3}) + a \implies 0 = \frac{1}{3} + a \implies a = -\frac{1}{3}$.
  При $a = -\frac{1}{3}$ прямая $y = -x - \frac{1}{3}$ проходит через правую точку минимума. В этом случае прямая пересекает график в трех точках.
• Случай 2: Прямая проходит через точку $(-1, 2)$.
  Подставим координаты точки в уравнение прямой: $2 = -(-1) + a \implies 2 = 1 + a \implies a = 1$.
  При $a=1$ прямая $y = -x+1$ проходит через точку максимума. В этом случае прямая также пересекает график в трех точках.
• Случай 3: Прямая проходит через точку $(-\frac{5}{3}, 0)$.
  Подставим координаты точки в уравнение прямой: $0 = -(-\frac{5}{3}) + a \implies 0 = \frac{5}{3} + a \implies a = -\frac{5}{3}$.
  При $a = -\frac{5}{3}$ прямая $y = -x - \frac{5}{3}$ проходит через левую точку минимума и касается графика в этой точке. В этом случае есть только одна точка пересечения (один корень).

Можно также проанализировать количество корней в промежуточных положениях прямой:

• При $a < -\frac{5}{3}$ — нет точек пересечения (0 корней).
• При $a = -\frac{5}{3}$ — одна точка пересечения (1 корень).
• При $-\frac{5}{3} < a < -\frac{1}{3}$ — две точки пересечения (2 корня).
• При $a = -\frac{1}{3}$ — три точки пересечения (3 корня).
• При $-\frac{1}{3} < a < 1$ — четыре точки пересечения (4 корня).
• При $a = 1$ — три точки пересечения (3 корня).
• При $a > 1$ — две точки пересечения (2 корня).

Таким образом, уравнение имеет ровно три корня при двух значениях параметра $a$.

Ответ: $a = -1/3; 1$.