Номер 6.18, страница 67 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 6. Построение графиков функций y = f(|x|) и y = |f(x)| - номер 6.18, страница 67.

Условие.

6.18. При каких значениях параметра $a$ уравнение $||x-1|-1|=x-a$ имеет бесконечно много корней?

Решение.

Для того чтобы уравнение имело бесконечно много корней, необходимо, чтобы графики функций, стоящих в левой и правой частях уравнения, совпадали на некотором промежутке. Рассмотрим две функции: $y = ||x - 1| - 1|$ и $y = x - a$.

1. Построение графика функции $y = ||x - 1| - 1|$

Построим график этой функции последовательными преобразованиями:

• Строим график $y_1 = x - 1$. Это прямая линия.
• Строим график $y_2 = |x - 1|$. Это график $y_1$, у которого часть, лежащая ниже оси Ox, отражена симметрично относительно этой оси. Получаем "галочку" с вершиной в точке $(1, 0)$.
• Строим график $y_3 = |x - 1| - 1$. Этот график получается сдвигом графика $y_2$ на 1 единицу вниз. Вершина "галочки" перемещается в точку $(1, -1)$.
• Строим график $y = ||x - 1| - 1|$. Это график $y_3$, у которого часть, лежащая ниже оси Ox, отражена симметрично относительно этой оси. Часть графика $y_3$ на интервале $(0, 2)$ находится ниже оси Ox. Вершина в точке $(1, -1)$ отражается в точку $(1, 1)$.

В результате получаем график, состоящий из четырех линейных участков. Раскроем модули, чтобы найти уравнения этих участков:

Функция $y = ||x - 1| - 1|$ может быть записана как:

1. При $x < 0$: $y = |-(x - 1) - 1| = |-x + 1 - 1| = |-x| = -x$.
2. При $0 \le x < 1$: $y = |-(x - 1) - 1| = |-x + 1 - 1| = |-x| = x$.
3. При $1 \le x < 2$: $y = |(x - 1) - 1| = |x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$.
4. При $x \ge 2$: $y = |(x - 1) - 1| = |x - 2| = x - 2$.

Таким образом, функция $y = f(x)$ имеет вид:

$f(x) = \begin{cases} -x, & \text{если } x < 0 \\ x, & \text{если } 0 \le x < 1 \\ 2-x, & \text{если } 1 \le x < 2 \\ x-2, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$

График этой функции имеет "W"-образную форму.

2. Анализ функции $y = x - a$

График функции $y = x - a$ — это прямая с угловым коэффициентом (наклоном) $k=1$ и проходящая через точку $(0, -a)$. Изменяя параметр $a$, мы перемещаем эту прямую параллельно самой себе вверх или вниз.

3. Поиск значений параметра $a$

Уравнение будет иметь бесконечно много решений, если прямая $y = x - a$ совпадет с одним из линейных участков графика функции $y = ||x - 1| - 1|$.

Угловой коэффициент прямой $y=x-a$ равен 1. Найдем участки графика $y=||x-1|-1|$, на которых угловой коэффициент также равен 1.

Из piecewise-определения функции видно, что таких участков два:

• Участок $y = x$ на промежутке $[0, 1)$.
• Участок $y = x - 2$ на промежутке $[2, +\infty)$.

Случай 1: Прямая $y = x - a$ совпадает с участком $y = x$ на промежутке $[0, 1)$.

Для совпадения уравнений прямых необходимо, чтобы $x - a = x$. Отсюда получаем $-a = 0$, то есть $a = 0$.

При $a = 0$ исходное уравнение принимает вид $||x - 1| - 1| = x$. На промежутке $[0, 1]$ это уравнение превращается в тождество $x=x$, следовательно, все значения $x$ из этого промежутка являются решениями. Таким образом, при $a=0$ уравнение имеет бесконечно много корней.

Случай 2: Прямая $y = x - a$ совпадает с участком $y = x - 2$ на промежутке $[2, +\infty)$.

Для совпадения уравнений прямых необходимо, чтобы $x - a = x - 2$. Отсюда получаем $-a = -2$, то есть $a = 2$.

При $a = 2$ исходное уравнение принимает вид $||x - 1| - 1| = x - 2$. На промежутке $[2, +\infty)$ это уравнение превращается в тождество $x-2=x-2$, следовательно, все значения $x$ из этого промежутка являются решениями. Таким образом, при $a=2$ уравнение имеет бесконечно много корней.

Других участков с угловым коэффициентом 1 у графика функции $y=||x-1|-1|$ нет, поэтому других значений $a$, при которых уравнение имеет бесконечное число решений, не существует.

Ответ: $a = 0; a = 2$.