Номер 6.11, страница 66 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 6. Построение графиков функций y = f(|x|) и y = |f(x)| - номер 6.11, страница 66.

Условие.

6.11. Сколько корней имеет уравнение в зависимости от значения параметра $a$:

1) $|x^2 - 1| = a;$

2) $|(x + 2)^2 - 3| = a;$

3) $||x| - 2)^2 - 3| = a?$

Решение.

Для решения данной задачи мы будем использовать графический метод. Количество корней уравнения $f(x) = a$ равно количеству точек пересечения графика функции $y = f(x)$ и горизонтальной прямой $y = a$.

1) $|x^2 - 1| = a$

Рассмотрим функцию $y = |x^2 - 1|$. Её график можно построить, начав с параболы $y = x^2 - 1$, вершина которой находится в точке $(0, -1)$, а ветви направлены вверх. Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x=-1$ и $x=1$. Затем, часть графика, которая лежит ниже оси Ox (т.е. для $x \in (-1, 1)$), симметрично отражается относительно этой оси. В результате получается график, у которого:

• локальный максимум в точке $(0, 1)$;
• два локальных минимума в точках $(-1, 0)$ и $(1, 0)$.

Теперь определим количество точек пересечения этого графика с прямой $y = a$ в зависимости от $a$.

• Если $a < 0$, прямая $y=a$ не пересекает график, так как $y = |x^2 - 1| \ge 0$. Корней нет.
• Если $a = 0$, прямая $y=0$ касается графика в двух точках минимума. 2 корня ($x=\pm1$).
• Если $0 < a < 1$, прямая пересекает график в четырех точках. 4 корня.
• Если $a = 1$, прямая проходит через точку локального максимума $(0, 1)$ и еще две точки на ветвях. 3 корня ($x=0, x=\pm\sqrt{2}$).
• Если $a > 1$, прямая пересекает график в двух точках. 2 корня.

Ответ: при $a < 0$ корней нет; при $a = 0$ или $a > 1$ — 2 корня; при $a = 1$ — 3 корня; при $0 < a < 1$ — 4 корня.

2) $|(x + 2)^2 - 3| = a$

Рассмотрим функцию $y = |(x + 2)^2 - 3|$. Её график строится аналогично предыдущему пункту. Сначала строим параболу $y = (x + 2)^2 - 3$. Это парабола $y=x^2$, смещенная на 2 единицы влево и на 3 единицы вниз. Её вершина находится в точке $(-2, -3)$, а нули в точках $x = -2 \pm \sqrt{3}$. Затем часть параболы ниже оси Ox отражается симметрично относительно этой оси. У полученного графика:

• локальный максимум в точке $(-2, 3)$;
• два локальных минимума в точках $(-2 - \sqrt{3}, 0)$ и $(-2 + \sqrt{3}, 0)$.

Определим количество точек пересечения графика с прямой $y = a$.

• Если $a < 0$, корней нет.
• Если $a = 0$, прямая касается графика в двух точках. 2 корня ($x = -2 \pm \sqrt{3}$).
• Если $0 < a < 3$, прямая пересекает график в четырех точках. 4 корня.
• Если $a = 3$, прямая проходит через локальный максимум. 3 корня ($x=-2, x=-2 \pm \sqrt{6}$).
• Если $a > 3$, прямая пересекает график в двух точках. 2 корня.

Ответ: при $a < 0$ корней нет; при $a = 0$ или $a > 3$ — 2 корня; при $a = 3$ — 3 корня; при $0 < a < 3$ — 4 корня.

3) $|(|x| - 2)^2 - 3| = a$

Рассмотрим функцию $y = |(|x| - 2)^2 - 3|$. Эта функция является четной ($y(-x) = y(x)$), поэтому её график симметричен относительно оси Oy. Построим сначала график для $x \ge 0$, где функция имеет вид $y = |(x - 2)^2 - 3|$, а затем отразим его симметрично относительно оси Oy.

График функции $y = |(x - 2)^2 - 3|$ для $x \ge 0$ имеет:

• точку $(0, 1)$ на оси ординат;
• локальный максимум в точке $(2, 3)$;
• локальные минимумы в точках $(2 - \sqrt{3}, 0)$ и $(2 + \sqrt{3}, 0)$.

После отражения относительно оси Oy полный график будет иметь:

• локальные максимумы в точках $(-2, 3)$ и $(2, 3)$;
• излом (локальный максимум) в точке $(0, 1)$;
• четыре локальных минимума в точках $x = \pm(2 - \sqrt{3})$ и $x = \pm(2 + \sqrt{3})$.

Определим количество точек пересечения графика с прямой $y=a$.

• Если $a < 0$, корней нет.
• Если $a = 0$, прямая касается графика в четырех точках минимума. 4 корня.
• Если $0 < a < 1$, прямая пересекает график 8 раз. 8 корней.
• Если $a = 1$, прямая проходит через излом в $(0, 1)$ и еще 6 точек. 7 корней.
• Если $1 < a < 3$, прямая пересекает график 6 раз. 6 корней.
• Если $a = 3$, прямая проходит через два локальных максимума и еще 2 точки. 4 корня.
• Если $a > 3$, прямая пересекает график 2 раза. 2 корня.

Ответ: при $a < 0$ корней нет; при $a > 3$ — 2 корня; при $a = 0$ или $a = 3$ — 4 корня; при $1 < a < 3$ — 6 корней; при $a = 1$ — 7 корней; при $0 < a < 1$ — 8 корней.