Номер 6.12, страница 66 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 6. Построение графиков функций y = f(|x|) и y = |f(x)| - номер 6.12, страница 66.

Условие.

6.12. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{2|x| - 1}$;

2) $y = \sqrt{1 - 3|x|}$;

3) $y = \sqrt{|2x - 1|}$.

Решение.

1) $y = \sqrt{2|x| - 1}$

1. Найдем область определения функции. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным:
$2|x| - 1 \ge 0$
$2|x| \ge 1$
$|x| \ge \frac{1}{2}$
Это неравенство равносильно совокупности $x \ge \frac{1}{2}$ или $x \le -\frac{1}{2}$.
Таким образом, область определения функции $D(y) = (-\infty; -0.5] \cup [0.5; \infty)$.

2. Проверим функцию на четность. Заменим $x$ на $-x$ в уравнении функции:
$y(-x) = \sqrt{2|-x| - 1} = \sqrt{2|x| - 1} = y(x)$.
Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

3. Построим часть графика для $x \ge \frac{1}{2}$. На этом промежутке $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \sqrt{2x - 1}$. Это ветвь параболы. Найдем координаты нескольких точек для этой части графика:
- при $x = 0.5$, $y = \sqrt{2 \cdot 0.5 - 1} = 0$. Точка $(0.5; 0)$.
- при $x = 1$, $y = \sqrt{2 \cdot 1 - 1} = 1$. Точка $(1; 1)$.
- при $x = 2.5$, $y = \sqrt{2 \cdot 2.5 - 1} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(2.5; 2)$.
- при $x = 5$, $y = \sqrt{2 \cdot 5 - 1} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(5; 3)$.

4. Для построения части графика при $x \le -\frac{1}{2}$ воспользуемся свойством четности и отразим построенную часть симметрично относительно оси Oy. Получим вторую ветвь графика, проходящую через точки $(-0.5; 0)$, $(-1; 1)$, $(-2.5; 2)$, $(-5; 3)$.

Ответ: График функции представляет собой две ветви, симметричные относительно оси Oy. Одна ветвь начинается в точке $(0.5; 0)$ и идет вправо-вверх, другая начинается в точке $(-0.5; 0)$ и идет влево-вверх.

2) $y = \sqrt{1 - 3|x|}$

1. Найдем область определения функции:
$1 - 3|x| \ge 0$
$1 \ge 3|x|$
$|x| \le \frac{1}{3}$
Это неравенство равносильно $- \frac{1}{3} \le x \le \frac{1}{3}$.
Таким образом, область определения $D(y) = [-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}]$.

2. Проверим функцию на четность:
$y(-x) = \sqrt{1 - 3|-x|} = \sqrt{1 - 3|x|} = y(x)$.
Функция является четной, ее график симметричен относительно оси Oy.

3. Построим часть графика для $0 \le x \le \frac{1}{3}$. На этом промежутке $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \sqrt{1 - 3x}$. Найдем координаты ключевых точек:
- при $x = 0$, $y = \sqrt{1 - 0} = 1$. Точка $(0; 1)$.
- при $x = \frac{1}{3}$, $y = \sqrt{1 - 3 \cdot \frac{1}{3}} = 0$. Точка $(\frac{1}{3}; 0)$.

4. Отразим построенную часть симметрично относительно оси Oy, чтобы получить график для $-\frac{1}{3} \le x < 0$. Начальной точкой этой части будет $(-\frac{1}{3}; 0)$.

Ответ: График функции - это дуга, симметричная относительно оси Oy, с концами в точках $(-\frac{1}{3}; 0)$ и $(\frac{1}{3}; 0)$ и с вершиной (точкой максимума) в точке $(0; 1)$.

3) $y = \sqrt{|2x - 1|}$

1. Найдем область определения функции. Выражение под модулем, $|2x-1|$, всегда неотрицательно ($|a| \ge 0$). Следовательно, подкоренное выражение всегда неотрицательно при любом значении $x$.
Таким образом, область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Раскроем модуль, чтобы представить функцию в кусочно-заданном виде.
а) Если $2x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge \frac{1}{2}$, то $|2x - 1| = 2x - 1$. Функция принимает вид $y = \sqrt{2x - 1}$.
б) Если $2x - 1 < 0$, то есть $x < \frac{1}{2}$, то $|2x - 1| = -(2x - 1) = 1 - 2x$. Функция принимает вид $y = \sqrt{1 - 2x}$.

3. Построим график для каждой части.
а) Для $x \ge \frac{1}{2}$ строим график $y = \sqrt{2x - 1}$. Это ветвь параболы, выходящая из точки $(\frac{1}{2}; 0)$ и идущая вправо и вверх. Ключевые точки: $(\frac{1}{2}; 0)$, $(1; 1)$, $(2.5; 2)$.
б) Для $x < \frac{1}{2}$ строим график $y = \sqrt{1 - 2x}$. Это ветвь параболы, выходящая из точки $(\frac{1}{2}; 0)$ и идущая влево и вверх. Ключевые точки: $(\frac{1}{2}; 0)$, $(0; 1)$, $(-1.5; 2)$.

Заметим, что график функции $y = \sqrt{1-2x}$ является зеркальным отражением графика $y=\sqrt{2x-1}$ относительно прямой $x = \frac{1}{2}$. Таким образом, весь график симметричен относительно вертикальной прямой $x = \frac{1}{2}$.

Ответ: График функции состоит из двух параболических ветвей, которые начинаются в общей точке $(\frac{1}{2}; 0)$ и симметричны относительно вертикальной прямой $x = \frac{1}{2}$.