Номер 6.13, страница 66 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 6. Построение графиков функций y = f(|x|) и y = |f(x)| - номер 6.13, страница 66.

Условие.

6.13. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{3|x| + 1}$;

2) $y = \sqrt{|3x + 1|}$.

Решение.

1) $y = \sqrt{3|x| + 1}$

Для построения графика функции $y = \sqrt{3|x| + 1}$ проанализируем её свойства.

1. Область определения. Выражение под корнем $3|x| + 1$ должно быть неотрицательным. Так как $|x| \ge 0$ для любого $x$, то $3|x| \ge 0$, и следовательно $3|x| + 1 \ge 1$. Таким образом, подкоренное выражение всегда положительно, и область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Чётность. Проверим функцию на чётность, подставив $-x$ вместо $x$:
$y(-x) = \sqrt{3|-x| + 1} = \sqrt{3|x| + 1} = y(x)$.
Функция является чётной, а значит, её график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

3. Построение графика. Благодаря симметрии, достаточно построить график для $x \ge 0$ и затем отразить его симметрично относительно оси Oy.

При $x \ge 0$, модуль $|x|$ раскрывается как $x$, и функция принимает вид: $y = \sqrt{3x + 1}$.
Это график стандартной функции квадратного корня, сдвинутый и сжатый. Найдём несколько ключевых точек для этой части графика:

• При $x=0$, $y = \sqrt{3(0) + 1} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(0, 1)$. Это точка минимума функции.
• При $x=1$, $y = \sqrt{3(1) + 1} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(1, 2)$.
• При $x=5$, $y = \sqrt{3(5) + 1} = \sqrt{16} = 4$. Точка $(5, 4)$.

Строим ветвь графика для $x \ge 0$, проходящую через эти точки. Затем, используя свойство симметрии, отражаем эту ветвь относительно оси Oy, чтобы получить часть графика для $x < 0$. Отражёнными точками будут $(-1, 2)$ и $(-5, 4)$. Для $x < 0$ функция имеет вид $y = \sqrt{-3x+1}$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{3|x| + 1}$ симметричен относительно оси Oy. Он состоит из двух ветвей, выходящих из точки $(0, 1)$. Правая ветвь ($x \ge 0$) является графиком функции $y = \sqrt{3x+1}$, а левая ветвь ($x < 0$) — её зеркальным отражением относительно оси Oy (график функции $y = \sqrt{-3x+1}$).

2) $y = \sqrt{|3x + 1|}$

Для построения графика функции $y = \sqrt{|3x + 1|}$ рассмотрим её по частям, в зависимости от знака выражения под модулем.

1. Область определения. Выражение под корнем $|3x + 1|$ всегда неотрицательно по определению модуля. Следовательно, область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Раскрытие модуля. Выражение $3x+1$ меняет знак в точке, где $3x+1 = 0$, то есть при $x = -1/3$. Разобьем область определения на два промежутка.

Случай 1: $3x+1 \ge 0$, то есть $x \ge -1/3$.
На этом промежутке $|3x+1| = 3x+1$, и функция принимает вид: $y = \sqrt{3x + 1}$.
Это ветвь параболы, начинающаяся в точке $x = -1/3$. Найдём ключевые точки:

• При $x = -1/3$, $y = \sqrt{3(-1/3) + 1} = \sqrt{0} = 0$. Точка $(-1/3, 0)$. Это точка минимума функции.
• При $x = 0$, $y = \sqrt{3(0) + 1} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(0, 1)$.
• При $x = 1$, $y = \sqrt{3(1) + 1} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(1, 2)$.

Случай 2: $3x+1 < 0$, то есть $x < -1/3$.
На этом промежутке $|3x+1| = -(3x+1) = -3x-1$, и функция принимает вид: $y = \sqrt{-3x - 1}$.
График этой функции симметричен графику $y = \sqrt{3x+1}$ относительно вертикальной прямой $x=-1/3$. Найдём несколько точек для проверки:

• При $x = -2/3$, $y = \sqrt{-3(-2/3) - 1} = \sqrt{2 - 1} = 1$. Точка $(-2/3, 1)$.
• При $x = -5/3$, $y = \sqrt{-3(-5/3) - 1} = \sqrt{5 - 1} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(-5/3, 2)$.

3. Построение графика. Соединяем точки для каждого случая. График будет состоять из двух ветвей, выходящих из точки $(-1/3, 0)$ и симметричных относительно прямой $x = -1/3$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{|3x + 1|}$ состоит из двух ветвей, симметричных относительно вертикальной прямой $x = -1/3$. Вершина графика находится в точке $(-1/3, 0)$. При $x \ge -1/3$ график совпадает с графиком функции $y = \sqrt{3x+1}$, а при $x < -1/3$ — с графиком функции $y = \sqrt{-3x-1}$.