Номер 6.16, страница 67 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 6. Построение графиков функций y = f(|x|) и y = |f(x)| - номер 6.16, страница 67.

Условие.

6.16. Постройте график функции:

1) $y = \left| \sqrt{|x|-1}-1 \right|;$

2) $y = \left| \frac{1}{|x-2|}-1 \right|;$

3) $y = \left| \frac{|x|+2}{|x|-1} \right|.$

Решение.

1) $y = |\sqrt{|x| - 1} - 1|$

Для построения графика этой функции воспользуемся методом последовательных преобразований.

1. Базовая функция: $y_1 = \sqrt{x}$. Это верхняя ветвь параболы, выходящая из точки (0, 0).

2. Учёт $|x|$ под корнем: Построим график функции $y_2 = \sqrt{|x|-1}$. Область определения этой функции задается неравенством $|x|-1 \geq 0$, то есть $|x| \geq 1$, или $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.
Для $x \geq 1$ имеем $y_2 = \sqrt{x-1}$. Это график $y_1=\sqrt{x}$, сдвинутый на 1 единицу вправо. Он начинается в точке (1, 0).
Так как функция $y_2 = \sqrt{|x|-1}$ является четной (т.е. $y_2(-x) = y_2(x)$), ее график симметричен относительно оси OY. Поэтому мы отражаем часть графика для $x \geq 1$ симметрично относительно оси OY, чтобы получить часть графика для $x \leq -1$. Эта вторая ветвь начинается в точке (-1, 0).

3. Сдвиг вниз: Построим график функции $y_3 = \sqrt{|x|-1} - 1$. Это график $y_2$, сдвинутый на 1 единицу вниз по оси OY. Начальные точки ветвей теперь (-1, -1) и (1, -1).

4. Внешний модуль: Построим итоговый график $y = |\sqrt{|x|-1} - 1|$. Для этого часть графика $y_3$, которая находится ниже оси OX, нужно симметрично отразить относительно оси OX. Часть графика, которая находится выше или на оси OX, остается без изменений.
Найдем точки пересечения графика $y_3$ с осью OX: $\sqrt{|x|-1} - 1 = 0 \implies \sqrt{|x|-1} = 1 \implies |x|-1 = 1 \implies |x|=2 \implies x = \pm 2$.
На интервалах $[-2, -1]$ и $[1, 2]$ график $y_3$ находится ниже или на оси OX. Например, в точках $x=\pm 1$, $y_3 = -1$. Эта часть графика отражается вверх. Точки $(-1, -1)$ и $(1, -1)$ переходят в точки $(-1, 1)$ и $(1, 1)$.
На интервалах $(-\infty, -2]$ и $[2, \infty)$ график $y_3$ находится на или выше оси OX, поэтому он не меняется.

Итоговый график:
- Область определения: $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.
- График симметричен относительно оси OY.
- Имеет две ветви. Правая ветвь начинается в точке (1, 1), идет вниз до точки (2, 0) (локальный минимум), а затем возрастает. Левая ветвь начинается в точке (-1, 1), идет вниз до точки (-2, 0) (локальный минимум), а затем возрастает.
- Точки $(\pm 1, 1)$ являются точками излома.

Ответ: График функции представляет собой две симметричные относительно оси OY ветви. Правая ветвь начинается в точке (1, 1), опускается до (2, 0) и затем поднимается. Левая ветвь начинается в (-1, 1), опускается до (-2, 0) и затем поднимается.

2) $y = \left|\frac{1}{|x-2|} - 1\right|$

Построим график функции, используя последовательные преобразования.

1. Базовая функция: $y_1 = \frac{1}{|x|}$. Для $x > 0$ это ветвь гиперболы $y=1/x$ в первой четверти. Так как функция четная, для $x < 0$ график симметрично отражается относительно оси OY. Вертикальная асимптота $x=0$, горизонтальная асимптота $y=0$.

2. Сдвиг вправо: Построим график $y_2 = \frac{1}{|x-2|}$. Это график $y_1$, сдвинутый на 2 единицы вправо. Вертикальная асимптота смещается в $x=2$. Горизонтальная асимптота $y=0$ остается.

3. Сдвиг вниз: Построим график $y_3 = \frac{1}{|x-2|} - 1$. Это график $y_2$, сдвинутый на 1 единицу вниз. Вертикальная асимптота $x=2$ не меняется. Горизонтальная асимптота смещается в $y=-1$.

4. Внешний модуль: Построим итоговый график $y = \left|\frac{1}{|x-2|} - 1\right|$. Часть графика $y_3$, лежащая ниже оси OX, отражается симметрично относительно этой оси.
Найдем нули функции $y_3$: $\frac{1}{|x-2|} - 1 = 0 \implies |x-2|=1$. Отсюда $x-2=1$ или $x-2=-1$, что дает $x=3$ и $x=1$.
На интервалах $(-\infty, 1)$ и $(3, \infty)$, $|x-2| > 1$, поэтому $\frac{1}{|x-2|} < 1$ и $y_3 < 0$. Эта часть графика отразится вверх. Горизонтальная асимптота $y=-1$ также отразится и станет $y=1$.
На интервале $(1, 3)$ (кроме $x=2$), $|x-2| < 1$, поэтому $\frac{1}{|x-2|} > 1$ и $y_3 > 0$. Эта часть графика останется без изменений.

Итоговый график:
- Область определения: $x \neq 2$.
- Вертикальная асимптота: $x=2$. При приближении к ней с обеих сторон $y \to +\infty$.
- Горизонтальная асимптота: $y=1$.
- Точки пересечения с осью OX: (1, 0) и (3, 0). Это точки излома, являющиеся локальными минимумами.
- График симметричен относительно прямой $x=2$.

Ответ: График состоит из двух ветвей, разделенных вертикальной асимптотой $x=2$. Слева от асимптоты график убывает от $y=1$ (при $x \to -\infty$) до точки минимума (1, 0), а затем возрастает до бесконечности при $x \to 2^-$. Справа от асимптоты график убывает от бесконечности при $x \to 2^+$ до точки минимума (3, 0), а затем возрастает, приближаясь к горизонтальной асимптоте $y=1$ (при $x \to +\infty$).

3) $y = \left|\frac{|x|+2}{|x|-1}\right|$

Заметим, что функция является четной, так как $y(-x) = \left|\frac{|-x|+2}{|-x|-1}\right| = \left|\frac{|x|+2}{|x|-1}\right| = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси OY. Поэтому достаточно построить график для $x \geq 0$ и затем отразить его симметрично относительно оси OY.

Шаг 1: Построение для $x \geq 0$.
При $x \geq 0$ имеем $|x|=x$, и функция принимает вид $y = \left|\frac{x+2}{x-1}\right|$.
Для построения этого графика сначала построим вспомогательный график функции $y_1 = \frac{x+2}{x-1}$ для $x \geq 0$.
Преобразуем выражение: $y_1 = \frac{(x-1)+3}{x-1} = 1 + \frac{3}{x-1}$. Это гипербола $y = 3/x$, смещенная на 1 единицу вправо и на 1 единицу вверх.
- Вертикальная асимптота: $x=1$.
- Горизонтальная асимптота: $y=1$.
- Пересечение с осью OY (при $x=0$): $y_1 = \frac{0+2}{0-1} = -2$. Точка (0, -2).
Теперь построим график $y = |y_1| = \left|\frac{x+2}{x-1}\right|$ для $x \geq 0$. Для этого часть графика $y_1$, расположенную ниже оси OX, отражаем симметрично относительно этой оси.
График $y_1$ отрицателен, когда $\frac{x+2}{x-1} < 0$. Так как мы рассматриваем $x \geq 0$, числитель $x+2$ всегда положителен. Значит, дробь отрицательна при $x-1 < 0$, то есть при $x < 1$.
Таким образом, на промежутке $[0, 1)$ график $y_1$ отражается. Точка (0, -2) переходит в (0, 2). При $x \to 1^-$, $y_1 \to -\infty$, следовательно, $|y_1| \to +\infty$.
На промежутке $(1, \infty)$ график $y_1$ положителен, поэтому он не меняется. При $x \to 1^+$, $y \to +\infty$, и при $x \to +\infty$, $y \to 1$.

Шаг 2: Построение полного графика.
Отражаем полученный для $x \geq 0$ график симметрично относительно оси OY. - Вертикальная асимптота $x=1$ отразится в $x=-1$. - Часть графика для $x>1$ отразится в область $x<-1$. - Часть графика для $0 \leq x < 1$ отразится в область $-1 < x \leq 0$.

Итоговый график:
- Область определения: $|x| \neq 1$, то есть $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, \infty)$.
- График симметричен относительно оси OY.
- Вертикальные асимптоты: $x=-1$ и $x=1$.
- Горизонтальная асимптота: $y=1$.
- Пересечение с осью OY: точка (0, 2), которая является точкой локального минимума.
- Пересечений с осью OX нет, так как $|x|+2 > 0$ для всех $x$.
- График состоит из трех частей. Две боковые ветви в областях $|x|>1$ асимптотически приближаются к $y=1$ на бесконечности и к вертикальным асимптотам $x=\pm 1$. Центральная часть представляет собой U-образную кривую, проходящую через минимум в точке (0, 2) и уходящую в бесконечность к асимптотам $x=\pm 1$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси OY и имеет вертикальные асимптоты $x=-1, x=1$ и горизонтальную асимптоту $y=1$. В интервале $(-1, 1)$ график имеет форму U-образной кривой с точкой минимума в (0, 2). В интервалах $(-\infty, -1)$ и $(1, \infty)$ ветви графика расположены над горизонтальной асимптотой и приближаются к ней на бесконечности.