Номер 6.23, страница 67 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 6. Построение графиков функций y = f(|x|) и y = |f(x)| - номер 6.23, страница 67.

Условие.

6.23. При каких значениях параметра $a$ уравнение $|3|x-a|-2| = 2-x$ имеет единственный корень?

Решение.

Исходное уравнение: $|3|x-a|-2| = 2-x$.

Поскольку левая часть уравнения неотрицательна (как модуль), правая часть также должна быть неотрицательной. Это задает область допустимых значений для $x$:

$2-x \ge 0 \implies x \le 2$.

Раскроем внешний модуль. Уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $3|x-a|-2 = 2-x$

2) $3|x-a|-2 = -(2-x)$

Рассмотрим каждое уравнение по отдельности.

1. Решим уравнение $3|x-a|-2 = 2-x$

Перенесем слагаемые: $3|x-a| = 4-x$.

Левая часть неотрицательна, поэтому $4-x \ge 0$, что означает $x \le 4$. Это условие не является более строгим, чем уже имеющееся $x \le 2$. Раскроем модуль $|x-a|$:

1a) Если $x-a \ge 0$ (т.е. $x \ge a$):

$3(x-a) = 4-x$

$3x - 3a = 4 - x$

$4x = 4 + 3a$

$x = 1 + \frac{3}{4}a$

Этот корень существует, если выполнены условия:

а) $x \le 2 \implies 1 + \frac{3}{4}a \le 2 \implies \frac{3}{4}a \le 1 \implies a \le \frac{4}{3}$.

б) $x \ge a \implies 1 + \frac{3}{4}a \ge a \implies 1 \ge \frac{1}{4}a \implies a \le 4$.

Объединяя условия, получаем, что корень $x = 1 + \frac{3}{4}a$ существует при $a \le \frac{4}{3}$.

1б) Если $x-a < 0$ (т.е. $x < a$):

$3(-(x-a)) = 4-x$

$-3x + 3a = 4 - x$

$2x = 3a - 4$

$x = \frac{3a-4}{2}$

Этот корень существует, если выполнены условия:

а) $x \le 2 \implies \frac{3a-4}{2} \le 2 \implies 3a-4 \le 4 \implies 3a \le 8 \implies a \le \frac{8}{3}$.

б) $x < a \implies \frac{3a-4}{2} < a \implies 3a-4 < 2a \implies a < 4$.

Объединяя условия, получаем, что корень $x = \frac{3a-4}{2}$ существует при $a \le \frac{8}{3}$.

2. Решим уравнение $3|x-a|-2 = -(2-x)$

$3|x-a|-2 = x-2$

$3|x-a| = x$

Левая часть неотрицательна, поэтому $x \ge 0$. С учетом первоначального условия $x \le 2$, решения этого уравнения должны лежать в отрезке $[0, 2]$. Раскроем модуль $|x-a|$:

2a) Если $x-a \ge 0$ (т.е. $x \ge a$):

$3(x-a) = x$

$3x - 3a = x$

$2x = 3a$

$x = \frac{3}{2}a$

Этот корень существует, если выполнены условия:

а) $0 \le x \le 2 \implies 0 \le \frac{3}{2}a \le 2 \implies 0 \le a \le \frac{4}{3}$.

б) $x \ge a \implies \frac{3}{2}a \ge a \implies \frac{1}{2}a \ge 0 \implies a \ge 0$.

Объединяя условия, получаем, что корень $x = \frac{3}{2}a$ существует при $0 \le a \le \frac{4}{3}$.

2б) Если $x-a < 0$ (т.е. $x < a$):

$3(-(x-a)) = x$

$-3x + 3a = x$

$4x = 3a$

$x = \frac{3}{4}a$

Этот корень существует, если выполнены условия:

а) $0 \le x \le 2 \implies 0 \le \frac{3}{4}a \le 2 \implies 0 \le a \le \frac{8}{3}$.

б) $x < a \implies \frac{3}{4}a < a \implies 0 < \frac{1}{4}a \implies a > 0$.

Объединяя условия, получаем, что корень $x = \frac{3}{4}a$ существует при $0 < a \le \frac{8}{3}$.

3. Проанализируем количество корней в зависимости от параметра $a$

Сведем найденные корни и условия их существования в таблицу:

• $x_1 = 1 + \frac{3}{4}a$ существует при $a \in (-\infty, \frac{4}{3}]$
• $x_2 = \frac{3a-4}{2}$ существует при $a \in (-\infty, \frac{8}{3}]$
• $x_3 = \frac{3}{2}a$ существует при $a \in [0, \frac{4}{3}]$
• $x_4 = \frac{3}{4}a$ существует при $a \in (0, \frac{8}{3}]$

Рассмотрим различные интервалы для параметра $a$:

• При $a < 0$: существуют корни $x_1$ и $x_2$. Они различны, так как $1 + \frac{3}{4}a = \frac{3a-4}{2}$ при $a=4$. Итого 2 корня.
• При $a = 0$: существуют корни $x_1 = 1$, $x_2 = -2$, $x_3 = 0$. Итого 3 корня.
• При $0 < a \le \frac{4}{3}$: существуют все четыре корня $x_1, x_2, x_3, x_4$. Можно проверить, что на этом интервале они все различны. Например, при $a=1$ имеем корни $7/4, -1/2, 3/2, 3/4$. Итого 4 корня. При $a=4/3$ имеем корни $x_1=2, x_2=0, x_3=2, x_4=1$. Корни $x_1$ и $x_3$ совпали, итого 3 различных корня $\{0, 1, 2\}$.
• При $\frac{4}{3} < a < \frac{8}{3}$: существуют корни $x_2 = \frac{3a-4}{2}$ и $x_4 = \frac{3}{4}a$. Они различны, так как равны только при $a=8/3$. Итого 2 корня.
• При $a = \frac{8}{3}$:
  • $x_1$: условие $a \le 4/3$ не выполнено.
  • $x_2$: условие $a \le 8/3$ выполнено. $x_2 = \frac{3(8/3)-4}{2} = \frac{8-4}{2} = 2$.
  • $x_3$: условие $0 \le a \le 4/3$ не выполнено.
  • $x_4$: условие $0 < a \le 8/3$ выполнено. $x_4 = \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{3} = 2$.
  Оба существующих корня совпали: $x_2 = x_4 = 2$. Таким образом, при $a=8/3$ уравнение имеет единственный корень $x=2$.
• При $a > \frac{8}{3}$: ни одно из условий существования корней не выполняется. Корней нет.

Единственный корень получается только при $a = \frac{8}{3}$.

Ответ: $a = \frac{8}{3}$.