Номер 6.24, страница 67 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 6. Построение графиков функций y = f(|x|) и y = |f(x)| - номер 6.24, страница 67.

Условие.

6.24. Решите неравенство $|x| - |x - 3| \le 2x$.

Решение.

Для решения неравенства $|x| - |x-3| \le 2x$ применим метод интервалов. Найдём нули подмодульных выражений: $x=0$ и $x-3=0$, то есть $x=3$. Эти точки делят числовую ось на три интервала, на каждом из которых мы решим неравенство.

При $x < 0$
На этом интервале $|x| = -x$ и $|x-3| = -(x-3) = 3-x$. Исходное неравенство преобразуется к виду:
$-x - (3-x) \le 2x$
$-x - 3 + x \le 2x$
$-3 \le 2x$
$x \ge -\frac{3}{2}$
С учётом условия $x < 0$, получаем решение для этого случая: $-1.5 \le x < 0$.

При $0 \le x < 3$
На этом интервале $|x| = x$ и $|x-3| = -(x-3) = 3-x$. Неравенство принимает вид:
$x - (3-x) \le 2x$
$2x - 3 \le 2x$
$-3 \le 0$
Это неравенство является верным для всех значений $x$. Следовательно, решением в данном случае является весь рассматриваемый промежуток: $0 \le x < 3$.

При $x \ge 3$
На этом интервале $|x| = x$ и $|x-3| = x-3$. Неравенство принимает вид:
$x - (x-3) \le 2x$
$x - x + 3 \le 2x$
$3 \le 2x$
$x \ge \frac{3}{2}$
С учётом условия $x \ge 3$, решением для этого случая будет $x \ge 3$.

Теперь объединим все найденные решения:
$[-1.5, 0) \cup [0, 3) \cup [3, +\infty)$
Общим решением неравенства является промежуток $[-1.5, +\infty)$.

Ответ: $x \in [-1.5; +\infty)$.