Номер 6.14, страница 66 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 6. Построение графиков функций y = f(|x|) и y = |f(x)| - номер 6.14, страница 66.

Условие.

6.14. Постройте график функции:

1) $y = \left|\frac{4}{|x|} - 2\right|$;

2) $y = \left|\frac{4}{|x|-2}\right|$;

3) $y = \left|1 - \left|1 - |x|\right|\right|.$

Решение.

1)

Для построения графика функции $y = |\frac{4}{|x|} - 2|$ выполним последовательность преобразований, исходя из графика базовой функции.

Шаг 1: Начнем с графика функции $y_1 = \frac{4}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптоты: $x=0$ (ось OY) и $y=0$ (ось OX).

Шаг 2: Построим график функции $y_2 = \frac{4}{|x|}$. Это преобразование вида $f(|x|)$. Для этого часть графика $y_1$ при $x > 0$ оставляем без изменений, а часть при $x < 0$ заменяем на симметричное отражение части для $x > 0$ относительно оси OY. В результате обе ветви гиперболы оказываются в I и II четвертях, над осью OX. График становится симметричным относительно оси OY.

Шаг 3: Построим график функции $y_3 = \frac{4}{|x|} - 2$. Этот график получается из графика $y_2$ сдвигом на 2 единицы вниз вдоль оси OY. Горизонтальная асимптота смещается с $y=0$ на $y=-2$. Вертикальная асимптота $x=0$ не изменяется. Найдем точки пересечения с осью OX: $\frac{4}{|x|} - 2 = 0 \Rightarrow \frac{4}{|x|} = 2 \Rightarrow |x|=2$, откуда $x = -2$ и $x = 2$.

Шаг 4: Построим итоговый график $y = |\frac{4}{|x|} - 2|$. Это преобразование вида $|f(x)|$. Часть графика $y_3$, которая находится ниже оси OX, симметрично отражается относительно этой оси, а часть, которая находится выше или на оси, остается без изменений.

- Часть графика $y_3$ выше или на оси OX (при $-2 \le x \le 2$, $x \neq 0$) остается на месте.

- Часть графика $y_3$ ниже оси OX (при $x < -2$ и $x > 2$) отражается вверх. При этом горизонтальная асимптота $y=-2$ для этих частей графика отражается и становится горизонтальной асимптотой $y=2$ для итогового графика.

В точках $(-2, 0)$ и $(2, 0)$ график имеет изломы.

Ответ: График функции симметричен относительно оси OY. Он имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную асимптоту $y=2$. График касается оси OX в точках $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

2)

Для построения графика функции $y = |\frac{4}{|x| - 2}|$ выполним последовательность преобразований.

Шаг 1: Начнем с графика функции $y_1 = \frac{4}{x - 2}$. Это гипербола $y = \frac{4}{x}$, сдвинутая на 2 единицы вправо. Вертикальная асимптота $x=2$, горизонтальная $y=0$.

Шаг 2: Построим график функции $y_2 = \frac{4}{|x| - 2}$. Это преобразование вида $f(|x|)$. Часть графика $y_1$ при $x > 0$ оставляем без изменений, а затем отражаем ее симметрично относительно оси OY, чтобы получить часть графика при $x < 0$. Вертикальная асимптота $x=2$ отражается в $x=-2$. Таким образом, график $y_2$ симметричен относительно оси OY и имеет две вертикальные асимптоты: $x=-2$ и $x=2$.

Шаг 3: Построим итоговый график $y = |\frac{4}{|x| - 2}|$. Это преобразование вида $|f(x)|$. Часть графика $y_2$, которая находится ниже оси OX, симметрично отражается относительно этой оси. Определим, где $y_2 < 0$. Знак $y_2$ зависит от знака знаменателя $|x|-2$.

- Если $|x| > 2$ (т.е. $x < -2$ или $x > 2$), то $|x|-2 > 0$, и $y_2 > 0$. На этих интервалах график не меняется.

- Если $|x| < 2$ (т.е. $-2 < x < 2$), то $|x|-2 < 0$, и $y_2 < 0$. На этом интервале график отражается относительно оси OX. То есть, для $x \in (-2, 2)$ строим график функции $y = -y_2 = -\frac{4}{|x|-2} = \frac{4}{2-|x|}$.

Итоговый график состоит из трех частей:

- При $x \in (2, \infty)$ и $x \in (-\infty, -2)$ это ветви гиперболы, приближающиеся к асимптотам $x=\pm 2$ и $y=0$.

- При $x \in (-2, 2)$ это кривая, симметричная относительно оси OY, с точкой максимума при $x=0$, где $y = \frac{4}{2-0}=2$. То есть, точка $(0, 2)$ - локальный максимум.

Ответ: График функции симметричен относительно оси OY. Он имеет две вертикальные асимптоты $x=-2$ и $x=2$ и горизонтальную асимптоту $y=0$. График имеет локальный максимум в точке $(0, 2)$.

3)

Для построения графика функции $y = |1 - |1 - |x|||$ раскроем модули последовательно.

Заметим, что функция является четной, так как $y(-x) = |1 - |1 - |-x||| = |1 - |1 - |x||| = y(x)$. Поэтому достаточно построить график для $x \ge 0$ и затем симметрично отразить его относительно оси OY.

При $x \ge 0$ функция принимает вид $y = |1 - |1 - x||$. Раскроем внутренний модуль $|1-x|$:

Случай 1: $1 - x \ge 0$, то есть $0 \le x \le 1$. В этом случае $|1-x| = 1-x$. Функция принимает вид: $y = |1 - (1-x)| = |1 - 1 + x| = |x|$. Поскольку на данном интервале $x \ge 0$, то $y = x$.

Случай 2: $1 - x < 0$, то есть $x > 1$. В этом случае $|1-x| = -(1-x) = x-1$. Функция принимает вид: $y = |1 - (x-1)| = |1 - x + 1| = |2-x|$.

Теперь раскроем модуль $|2-x|$ при $x > 1$:

- Подслучай 2а: $2 - x \ge 0$, то есть $1 < x \le 2$. В этом случае $|2-x| = 2-x$. Итак, $y = 2-x$.

- Подслучай 2б: $2 - x < 0$, то есть $x > 2$. В этом случае $|2-x| = -(2-x) = x-2$. Итак, $y = x-2$.

Собираем все части для $x \ge 0$:

$y(x) = \begin{cases} x, & \text{если } 0 \le x \le 1 \\ 2-x, & \text{если } 1 < x \le 2 \\ x-2, & \text{если } x > 2 \end{cases}$

Строим график для $x \ge 0$ по полученным отрезкам и лучу:

- На отрезке $[0, 1]$ это отрезок прямой $y=x$, соединяющий точки $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

- На отрезке $[1, 2]$ это отрезок прямой $y=2-x$, соединяющий точки $(1, 1)$ и $(2, 0)$.

- При $x > 2$ это луч $y=x-2$, выходящий из точки $(2, 0)$ с угловым коэффициентом 1.

Теперь отражаем построенную часть графика симметрично относительно оси OY, чтобы получить полный график.

Ответ: График функции представляет собой ломаную линию, симметричную относительно оси OY. Ключевые точки (вершины ломаной): $(0, 0)$, $(-1, 1)$, $(1, 1)$, $(-2, 0)$, $(2, 0)$. График состоит из отрезков прямых, соединяющих эти точки, и двух лучей, выходящих из точек $(\pm 2, 0)$ во внешние стороны.