Номер 7.24, страница 76 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.24, страница 76.

Условие.

7.24. При каком значении параметра $a$ график функции $y = ax^2 + (a-2)x + \frac{1}{4}$ имеет с осью абсцисс одну общую точку?

Решение.

График функции $y = ax^2 + (a-2)x + \frac{1}{4}$ имеет с осью абсцисс одну общую точку, если уравнение $ax^2 + (a-2)x + \frac{1}{4} = 0$ имеет ровно один действительный корень. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $a=0$
При $a=0$ уравнение перестает быть квадратным и становится линейным:
$(0-2)x + \frac{1}{4} = 0$
$-2x + \frac{1}{4} = 0$
$2x = \frac{1}{4}$
$x = \frac{1}{8}$
В этом случае уравнение имеет один корень, что означает, что график функции (который является прямой линией) пересекает ось абсцисс в одной точке. Следовательно, $a=0$ является одним из решений.

Случай 2: $a \neq 0$
При $a \neq 0$ уравнение является квадратным. Квадратное уравнение имеет ровно один действительный корень тогда и только тогда, когда его дискриминант ($D$) равен нулю.
Вычислим дискриминант для уравнения $ax^2 + (a-2)x + \frac{1}{4} = 0$:
$D = (a-2)^2 - 4 \cdot a \cdot \frac{1}{4} = (a-2)^2 - a$
$D = a^2 - 4a + 4 - a = a^2 - 5a + 4$
Теперь приравняем дискриминант к нулю и решим полученное уравнение относительно $a$:
$a^2 - 5a + 4 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $a$. Его корни можно найти, например, по теореме Виета: сумма корней равна 5, а произведение равно 4. Отсюда получаем корни $a_1=1$ и $a_2=4$. Оба этих значения удовлетворяют условию $a \neq 0$.

Объединяя результаты, полученные в обоих случаях, находим все искомые значения параметра $a$.
Ответ: $0; 1; 4$.