Номер 7.28, страница 76 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.28, страница 76.

Условие.

7.28. При каких значениях параметра $a$ прямая $y=x-1$ имеет с параболой $y=x^2-2ax+3$ одну общую точку?

Решение.

Для того чтобы прямая и парабола имели одну общую точку, система уравнений, составленная из их уравнений, должна иметь единственное решение.

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} y = x - 1 \\ y = x^2 - 2ax + 3 \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений, так как в точке пересечения их значения $y$ совпадают:

$x - 1 = x^2 - 2ax + 3$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно переменной $x$:

$x^2 - 2ax - x + 3 + 1 = 0$

Сгруппируем слагаемые при $x$:

$x^2 - (2a + 1)x + 4 = 0$

Квадратное уравнение имеет один корень (что соответствует одной общей точке для графиков) в том случае, когда его дискриминант ($D$) равен нулю.

Найдем дискриминант этого уравнения по формуле $D = b^2 - 4ac$, где коэффициенты равны:

$a_{коэф} = 1$, $b_{коэф} = -(2a + 1)$, $c_{коэф} = 4$

$D = (-(2a + 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = (2a + 1)^2 - 16$

Приравняем дискриминант к нулю и решим полученное уравнение относительно параметра $a$:

$(2a + 1)^2 - 16 = 0$

$(2a + 1)^2 = 16$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$2a + 1 = 4$ или $2a + 1 = -4$

Решим каждое из двух полученных линейных уравнений:

1) $2a + 1 = 4$

$2a = 4 - 1$

$2a = 3$

$a = \frac{3}{2}$

2) $2a + 1 = -4$

$2a = -4 - 1$

$2a = -5$

$a = -\frac{5}{2}$

Таким образом, прямая и парабола имеют одну общую точку при $a = -2.5$ и $a = 1.5$.

Ответ: $a = -\frac{5}{2}$; $a = \frac{3}{2}$.