Номер 7.30, страница 76 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.30, страница 76.

Условие.

7.30. На рисунке 7.8 изображён график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$. Определите знаки коэффициентов $a, b$ и $c$.

а

б

Рис. 7.8

а

б

Рис. 7.9

Решение.

Для определения знаков коэффициентов $a$, $b$ и $c$ квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ по её графику, воспользуемся следующими свойствами:

• Коэффициент $a$ определяет направление ветвей параболы: если $a > 0$, ветви направлены вверх; если $a < 0$, ветви направлены вниз.
• Коэффициент $c$ равен ординате точки пересечения параболы с осью $y$. Если точка пересечения находится выше оси $x$, то $c > 0$; если ниже — $c < 0$.
• Знак коэффициента $b$ связан с положением вершины параболы. Абсцисса вершины $x_0$ находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Зная знаки $a$ и $x_0$ (в какой полуплоскости — левой или правой — находится вершина), можно определить знак $b$.

Применим эти свойства к графикам на рисунке 7.8.

а)

Знак коэффициента $a$: ветви параболы направлены вверх, следовательно, $a > 0$.

Знак коэффициента $c$: парабола пересекает ось $y$ в точке с отрицательной ординатой (ниже оси $x$), следовательно, $c < 0$.

Знак коэффициента $b$: вершина параболы находится в правой полуплоскости, значит, её абсцисса $x_0 > 0$. Используя формулу $x_0 = -\frac{b}{2a}$, получаем неравенство $-\frac{b}{2a} > 0$. Так как $a > 0$, то знаменатель $2a$ положителен. Чтобы дробь была отрицательной (так как перед ней стоит минус), $b$ должен быть отрицательным. Таким образом, $b < 0$.

Ответ: $a > 0, b < 0, c < 0$.

б)

Знак коэффициента $a$: ветви параболы направлены вниз, следовательно, $a < 0$.

Знак коэффициента $c$: парабола пересекает ось $y$ в точке с положительной ординатой (выше оси $x$), следовательно, $c > 0$.

Знак коэффициента $b$: вершина параболы находится в правой полуплоскости, значит, её абсцисса $x_0 > 0$. Используя формулу $x_0 = -\frac{b}{2a}$, получаем неравенство $-\frac{b}{2a} > 0$. Так как $a < 0$, то знаменатель $2a$ отрицателен. Дробь $-\frac{b}{2a}$ можно переписать как $\frac{b}{-2a}$. Знаменатель $(-2a)$ положителен. Чтобы вся дробь была положительной, числитель $b$ также должен быть положительным. Таким образом, $b > 0$.

Ответ: $a < 0, b > 0, c > 0$.