Номер 7.36, страница 77 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.36, страница 77.

Условие.

7.36. При каких значениях параметра $a$ вершина параболы $y = x^2 - 6ax + 4 + 8a^2$ находится во второй четверти?

Решение.

Дана парабола, заданная уравнением $y = x^2 - 6ax + 4 + 8a^2$. Это квадратичная функция вида $y = Ax^2 + Bx + C$, где коэффициенты: $A = 1$, $B = -6a$, $C = 4 + 8a^2$.

Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ можно найти по формулам: $x_v = -\frac{B}{2A}$
$y_v = y(x_v)$

Вычислим абсциссу (координату x) вершины: $x_v = -\frac{-6a}{2 \cdot 1} = \frac{6a}{2} = 3a$

Теперь вычислим ординату (координату y) вершины, подставив $x_v = 3a$ в исходное уравнение параболы: $y_v = (3a)^2 - 6a(3a) + 4 + 8a^2 = 9a^2 - 18a^2 + 4 + 8a^2 = -a^2 + 4$

Итак, координаты вершины параболы: $(3a; 4 - a^2)$.

Точка находится во второй координатной четверти, если ее абсцисса отрицательна, а ордината положительна. Следовательно, координаты вершины должны удовлетворять системе неравенств: $$ \begin{cases} x_v < 0 \\ y_v > 0 \end{cases} $$

Подставим найденные выражения для координат вершины в систему: $$ \begin{cases} 3a < 0 \\ 4 - a^2 > 0 \end{cases} $$

Решим эту систему неравенств.
Из первого неравенства получаем: $3a < 0 \implies a < 0$
Решим второе неравенство: $4 - a^2 > 0$ $a^2 < 4$ $|a| < 2$ $-2 < a < 2$

Теперь необходимо найти пересечение решений обоих неравенств: $a < 0$ и $-2 < a < 2$. Общим решением системы является интервал $(-2; 0)$.

Ответ: $a \in (-2; 0)$.