Номер 7.42, страница 77 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.42, страница 77.

Условие.

7.42. Постройте график функции:

1) $y = |x^2 - 3|x||;$

2) $y = |x^2 - 4|x| + 3|$.

Решение.

1) $y = |x^2 - 3|x||$

Для построения графика данной функции воспользуемся методом последовательных преобразований. Построение можно разбить на несколько шагов.

Шаг 1: Анализ функции.
Заметим, что $x^2 = |x|^2$. Тогда функцию можно переписать в виде $y = ||x|^2 - 3|x||$. Это означает, что функция является четной, так как $y(-x) = ||-x|^2 - 3|-x|| = ||x|^2 - 3|x|| = y(x)$. Следовательно, ее график симметричен относительно оси OY. Это позволяет нам построить график для $x \geq 0$, а затем симметрично отразить его относительно оси OY.

Шаг 2: Построение графика для $x \geq 0$.
При $x \geq 0$ имеем $|x|=x$, и функция принимает вид $y = |x^2 - 3x|$. Для построения этого графика сначала построим параболу $y_1 = x^2 - 3x$.
Это парабола с ветвями вверх.
Найдем ее нули (точки пересечения с осью OX): $x^2 - 3x = 0 \implies x(x-3) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = 3$.
Найдем вершину параболы: $x_в = \frac{-(-3)}{2 \cdot 1} = 1.5$. Координата $y_в = (1.5)^2 - 3(1.5) = 2.25 - 4.5 = -2.25$. Вершина находится в точке $(1.5, -2.25)$.

Шаг 3: Применение модуля.
Теперь построим график $y = |x^2 - 3x|$ для $x \geq 0$. Для этого часть графика $y_1 = x^2 - 3x$, которая находится ниже оси OX (на интервале $(0, 3)$), симметрично отражается относительно оси OX. Часть графика выше оси OX остается без изменений. Вершина $(1.5, -2.25)$ перейдет в точку $(1.5, 2.25)$.

Шаг 4: Построение полного графика.
Мы получили график для $x \geq 0$. Так как исходная функция четная, для получения полного графика нужно отразить построенную часть симметрично относительно оси OY.
В результате получим график со следующими характеристиками:
- Точки пересечения с осью OX: $x=-3, x=0, x=3$.
- Максимумы (пики) графика будут в точках $(-1.5, 2.25)$ и $(1.5, 2.25)$.
- Локальный минимум в точке $(0, 0)$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси OY. Он касается оси OX в точках $x=-3, x=0, x=3$. Имеет два пика в точках $(-1.5, 2.25)$ и $(1.5, 2.25)$. Внешне график напоминает букву "W" с центральной точкой в начале координат.

---

2) $y = |x^2 - 4|x| + 3|$

Построение графика этой функции также выполним поэтапно, используя преобразования.

Шаг 1: Анализ функции.
Как и в предыдущем случае, функция является четной, так как $y(-x) = |(-x)^2 - 4|-x| + 3| = |x^2 - 4|x| + 3| = y(x)$. Это значит, что ее график симметричен относительно оси OY. Построим график для $x \geq 0$ и отразим его относительно оси OY.

Шаг 2: Построение графика для $x \geq 0$.
При $x \geq 0$ имеем $|x|=x$, и функция принимает вид $y = |x^2 - 4x + 3|$. Построим сначала параболу $y_1 = x^2 - 4x + 3$.
Это парабола с ветвями вверх.
Найдем ее нули: $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1, x_2 = 3$.
Найдем вершину параболы: $x_в = \frac{-(-4)}{2 \cdot 1} = 2$. Координата $y_в = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$. Вершина находится в точке $(2, -1)$.
Точка пересечения с осью OY: $y_1(0) = 3$.

Шаг 3: Применение модуля.
Теперь построим график $y = |x^2 - 4x + 3|$ для $x \geq 0$. Часть графика $y_1 = x^2 - 4x + 3$, лежащая ниже оси OX (на интервале $(1, 3)$), симметрично отражается относительно оси OX. Вершина $(2, -1)$ перейдет в точку $(2, 1)$.

Шаг 4: Построение полного графика.
Мы получили график для $x \geq 0$. Отражаем его симметрично относительно оси OY. Полный график будет иметь следующие характеристики:
- Точки пересечения с осью OX: $x=-3, x=-1, x=1, x=3$.
- Максимумы (пики) графика будут в точках $(-2, 1)$, $(0, 3)$ и $(2, 1)$.
- Локальные минимумы в точках пересечения с осью OX: $(-3,0), (-1,0), (1,0), (3,0)$.

Краткий алгоритм построения:
1. Строим параболу $y = x^2 - 4x + 3$.
2. Оставляем часть графика для $x \geq 0$ и симметрично отражаем ее относительно оси OY. Получаем график функции $y_2 = x^2 - 4|x| + 3$.
3. Части графика $y_2$, которые находятся ниже оси OX, симметрично отражаем относительно оси OX. Получаем искомый график $y = |x^2 - 4|x| + 3|$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси OY. Пересекает ось OX в точках $\pm 1$ и $\pm 3$. Имеет локальный максимум в точке $(0, 3)$ и два других пика в точках $(-2, 1)$ и $(2, 1)$.