Номер 7.39, страница 77 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.39, страница 77.

Условие.

7.39. Найдите ординату вершины параболы, фрагмент которой изображён на рисунке 7.11.

Рис. 7.11

a

б

Решение.

а

Парабола, изображенная на рисунке, является графиком квадратичной функции. Для нахождения ординаты ее вершины, сначала определим абсциссу вершины. Из графика видно, что парабола пересекает ось абсцисс (ось Ox) в точках $x_1 = -4$ и $x_2 = 0$. Эти точки являются нулями функции. Ось симметрии параболы, на которой лежит ее вершина, проходит ровно посередине между нулями функции. Поэтому абсцисса вершины $x_v$ равна: $x_v = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-4 + 0}{2} = -2$.

Теперь, зная абсциссу вершины, найдем уравнение параболы, чтобы вычислить ее ординату. Уравнение параболы, проходящей через точки $x_1$ и $x_2$, можно записать в виде $y = a(x - x_1)(x - x_2)$. Подставив значения корней, получаем: $y = a(x - (-4))(x - 0) = a(x+4)x$. Для нахождения коэффициента $a$ воспользуемся еще одной точкой, принадлежащей графику. Из рисунка видно, что парабола проходит через точку с координатами $(1, 5)$. Подставим координаты этой точки в уравнение параболы: $5 = a(1+4) \cdot 1 = 5a$. Отсюда находим $a = 1$. Следовательно, уравнение параболы: $y = 1 \cdot x(x+4) = x^2 + 4x$.

Ордината вершины параболы $y_v$ — это значение функции в точке $x = x_v = -2$. Подставим это значение в уравнение: $y_v = (-2)^2 + 4(-2) = 4 - 8 = -4$.

Ответ: -4

б

Аналогично, для параболы, изображенной на рисунке б, находим ее точки пересечения с осью Ox. Это точки $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$. Вычислим абсциссу вершины параболы $x_v$: $x_v = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3$.

Запишем уравнение параболы в виде $y = a(x - x_1)(x - x_2)$: $y = a(x - 1)(x - 5)$. Из графика видно, что парабола проходит через точку с координатами $(0, -5)$. Подставим координаты этой точки в уравнение, чтобы найти коэффициент $a$: $-5 = a(0 - 1)(0 - 5) = a(-1)(-5) = 5a$. Отсюда находим $a = -1$. Следовательно, уравнение параболы: $y = -(x - 1)(x - 5)$.

Ордината вершины параболы $y_v$ — это значение функции в точке $x = x_v = 3$. Подставим это значение в уравнение: $y_v = -(3 - 1)(3 - 5) = -(2)(-2) = 4$.

Ответ: 4