Номер 7.38, страница 77 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.38, страница 77.

Условие.

7.38. Вершина параболы $y = ax^2 + bx + c$ находится в точке C (4; -10), парабола проходит через точку D (1; -1). Найдите значения коэффициентов a, b и c.

Решение.

Уравнение параболы с вершиной в точке $(x_0; y_0)$ можно записать в виде $y = a(x - x_0)^2 + y_0$.

По условию, вершина параболы находится в точке C(4; -10). Подставим координаты вершины в эту формулу:

$x_0 = 4, y_0 = -10$

Таким образом, уравнение параболы принимает вид:

$y = a(x - 4)^2 - 10$

Также известно, что парабола проходит через точку D(1; -1). Это означает, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению параболы. Подставим $x = 1$ и $y = -1$ в полученное уравнение, чтобы найти коэффициент $a$:

$-1 = a(1 - 4)^2 - 10$

$-1 = a(-3)^2 - 10$

$-1 = 9a - 10$

Перенесем -10 в левую часть уравнения:

$10 - 1 = 9a$

$9 = 9a$

$a = 1$

Теперь, когда мы нашли коэффициент $a$, мы можем записать уравнение параболы и привести его к стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$, чтобы найти коэффициенты $b$ и $c$.

Подставляем $a=1$ в уравнение $y = a(x - 4)^2 - 10$:

$y = 1 \cdot (x - 4)^2 - 10$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$:

$y = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2) - 10$

$y = (x^2 - 8x + 16) - 10$

$y = x^2 - 8x + 6$

Сравнивая полученное уравнение с уравнением $y = ax^2 + bx + c$, находим значения коэффициентов:

$a = 1$

$b = -8$

$c = 6$

Ответ: $a = 1$, $b = -8$, $c = 6$.