Номер 7.37, страница 77 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.37, страница 77.

Условие.

7.37. При каких значениях коэффициентов $p$ и $q$ вершина параболы $y = x^2 + px + q$ находится в точке $A(2; 5)$?

Решение.

Для того чтобы найти значения коэффициентов $p$ и $q$, воспользуемся формулой для нахождения координат вершины параболы.

Для параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, координаты ее вершины $(x_0; y_0)$ вычисляются следующим образом:

Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a}$

Ордината вершины: $y_0 = y(x_0)$, то есть значение функции в точке $x_0$.

В нашем случае дано уравнение параболы $y = x^2 + px + q$. Сравнивая его со стандартной формой, мы видим, что коэффициенты равны: $a = 1$, $b = p$, $c = q$.

По условию задачи, вершина параболы находится в точке $A(2; 5)$. Это означает, что $x_0 = 2$ и $y_0 = 5$.

1. Нахождение коэффициента p.

Подставим известные значения $x_0=2$, $a=1$ и $b=p$ в формулу для абсциссы вершины:

$2 = -\frac{p}{2 \cdot 1}$

$2 = -\frac{p}{2}$

Чтобы найти $p$, умножим обе части уравнения на $-2$:

$p = 2 \cdot (-2)$

$p = -4$

2. Нахождение коэффициента q.

Теперь мы знаем, что уравнение параболы имеет вид $y = x^2 - 4x + q$.

Так как точка $A(2; 5)$ является вершиной параболы, она принадлежит графику этой функции. Это значит, что ее координаты удовлетворяют уравнению параболы. Подставим $x = 2$ и $y = 5$ в уравнение, чтобы найти $q$:

$5 = (2)^2 - 4(2) + q$

$5 = 4 - 8 + q$

$5 = -4 + q$

Перенесем $-4$ в левую часть уравнения:

$q = 5 + 4$

$q = 9$

Таким образом, мы нашли искомые значения коэффициентов. Уравнение параболы имеет вид $y = x^2 - 4x + 9$.

Ответ: $p = -4$, $q = 9$.