Номер 7.35, страница 77 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.35, страница 77.

Условие.

7.35. При каких значениях параметра $a$ вершина параболы $y = x^2 - 4ax + 5a^2 - 3$ равноудалена от осей координат?

Решение.

Дана парабола, заданная уравнением $y = x^2 - 4ax + 5a^2 - 3$.

Сначала найдем координаты вершины этой параболы $(x_v, y_v)$. Для параболы вида $y = Ax^2 + Bx + C$ координаты вершины находятся по формулам:

$x_v = -\frac{B}{2A}$

$y_v = y(x_v)$

В нашем случае коэффициенты равны: $A=1$, $B=-4a$, $C=5a^2 - 3$.

Найдем абсциссу вершины:

$x_v = -\frac{-4a}{2 \cdot 1} = \frac{4a}{2} = 2a$

Теперь найдем ординату вершины, подставив значение $x_v$ в уравнение параболы:

$y_v = (2a)^2 - 4a(2a) + 5a^2 - 3 = 4a^2 - 8a^2 + 5a^2 - 3 = a^2 - 3$

Таким образом, координаты вершины параболы: $(2a, a^2 - 3)$.

Условие равноудаленности точки от осей координат означает, что абсолютные значения ее координат равны. Расстояние от точки $(x_v, y_v)$ до оси Oy равно $|x_v|$, а до оси Ox равно $|y_v|$. По условию задачи эти расстояния равны:

$|x_v| = |y_v|$

Подставим найденные координаты вершины:

$|2a| = |a^2 - 3|$

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $2a = a^2 - 3$

2) $2a = -(a^2 - 3)$

Решим каждое уравнение.

1) $a^2 - 2a - 3 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни, например, по теореме Виета: сумма корней равна 2, произведение равно -3. Следовательно, корни:

$a_1 = 3$, $a_2 = -1$

2) $2a = -a^2 + 3$

$a^2 + 2a - 3 = 0$

Это также квадратное уравнение. По теореме Виета: сумма корней равна -2, произведение равно -3. Следовательно, корни:

$a_3 = 1$, $a_4 = -3$

Объединяя все найденные значения, получаем, что вершина параболы равноудалена от осей координат при четырех значениях параметра $a$.

Ответ: $a \in \{-3, -1, 1, 3\}$.