Номер 7.32, страница 76 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.32, страница 76.

Условие.

7.32. Могут ли графики квадратичных функций $y = ax^2 + bx + c$ и $y = cx^2 + bx + a$ быть расположены так, как показано на рисунке 7.10?

Рис. 7.10

Решение.

Рассмотрим две заданные квадратичные функции: $y_1 = ax^2 + bx + c$ и $y_2 = cx^2 + bx + a$.

Проанализируем свойства их графиков, изображенных на рисунке 7.10.

1. Направление ветвей парабол.
На рисунке обе параболы имеют ветви, направленные вниз. У квадратичной функции $y = Px^2 + Qx + R$ ветви направлены вниз, если старший коэффициент $P$ отрицателен ($P < 0$).
Для функции $y_1 = ax^2 + bx + c$ старшим коэффициентом является $a$. Следовательно, из вида графика следует, что $a < 0$.
Для функции $y_2 = cx^2 + bx + a$ старшим коэффициентом является $c$. Следовательно, из вида графика следует, что $c < 0$.
Таким образом, из направления ветвей парабол мы делаем вывод, что $a < 0$ и $c < 0$.

2. Точки пересечения с осью ординат ($y$).
Точка пересечения графика функции с осью $y$ имеет абсциссу $x = 0$. Ордината этой точки равна значению функции при $x=0$.
Для функции $y_1 = ax^2 + bx + c$ точка пересечения с осью $y$ имеет ординату $y_1(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = c$.
Для функции $y_2 = cx^2 + bx + a$ точка пересечения с осью $y$ имеет ординату $y_2(0) = c \cdot 0^2 + b \cdot 0 + a = a$.
На рисунке видно, что обе параболы пересекают ось $y$ в точках, лежащих выше оси абсцисс ($x$), то есть ординаты этих точек положительны.
Следовательно, $c > 0$ и $a > 0$.

Вывод.
Мы получили два несовместных условия для коэффициентов $a$ и $c$:

• Из анализа направления ветвей парабол следует, что $a < 0$ и $c < 0$.
• Из анализа точек пересечения с осью $y$ следует, что $a > 0$ и $c > 0$.

Число не может быть одновременно и положительным, и отрицательным. Полученное противоречие доказывает, что графики данных квадратичных функций не могут быть расположены так, как это показано на рисунке.

Ответ: Нет, не могут.