Номер 7.31, страница 76 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.31, страница 76.

Условие.

7.31. На рисунке 7.9 изображён график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$. Определите знаки коэффициентов $a$, $b$ и $c$.

а

б

Рис. 7.9

Решение.

Для определения знаков коэффициентов квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ по её графику (параболе) воспользуемся следующими свойствами:

• Знак коэффициента $a$ определяется направлением ветвей параболы: если ветви направлены вверх, то $a > 0$; если вниз, то $a < 0$.
• Знак коэффициента $c$ определяется точкой пересечения графика с осью ординат (осью $y$). Так как $y(0) = c$, то если точка пересечения лежит выше оси абсцисс, то $c > 0$; если ниже, то $c < 0$.
• Знак коэффициента $b$ зависит от знака коэффициента $a$ и расположения вершины параболы. Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

а

1. Ветви параболы на рисунке а направлены вверх, следовательно, $a > 0$.
2. Парабола пересекает ось $y$ в точке с положительной ординатой (выше начала координат), следовательно, $c > 0$.
3. Вершина параболы находится в левой полуплоскости, значит, её абсцисса $x_0$ отрицательна: $x_0 < 0$. Так как $x_0 = -\frac{b}{2a}$ и мы знаем, что $a > 0$, то из неравенства $-\frac{b}{2a} < 0$ следует, что $\frac{b}{2a} > 0$. Поскольку знаменатель $2a$ положителен, то и числитель $b$ должен быть положителен, чтобы дробь была положительной. Таким образом, $b > 0$.

Ответ: $a > 0, b > 0, c > 0$.

б

1. Ветви параболы на рисунке б направлены вниз, следовательно, $a < 0$.
2. Парабола пересекает ось $y$ в точке с отрицательной ординатой (ниже начала координат), следовательно, $c < 0$.
3. Вершина параболы находится в правой полуплоскости, значит, её абсцисса $x_0$ положительна: $x_0 > 0$. Так как $x_0 = -\frac{b}{2a}$ и мы знаем, что $a < 0$, то из неравенства $-\frac{b}{2a} > 0$ следует, что $\frac{b}{2a} < 0$. Поскольку знаменатель $2a$ отрицателен, то для того чтобы дробь была отрицательной, числитель $b$ должен быть положителен. Таким образом, $b > 0$.

Ответ: $a < 0, b > 0, c < 0$.