Номер 7.29, страница 76 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.29, страница 76.

Условие.

7.29. При каких значениях параметра $a$ прямая $y = -x + 4$ имеет с параболой $y = x^2 - 3x - a$ одну общую точку?

Решение.

Для того чтобы прямая и парабола имели одну общую точку, система уравнений, описывающая их, должна иметь единственное решение. Составим систему уравнений:

$\begin{cases}y = -x + 4 \\y = x^2 - 3x - a\end{cases}$

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссы ($x$) возможных точек пересечения:

$-x + 4 = x^2 - 3x - a$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $x$:

$x^2 - 3x - a + x - 4 = 0$

$x^2 - 2x - (a + 4) = 0$

Это квадратное уравнение. Количество его корней определяет количество общих точек у прямой и параболы. Условию "одна общая точка" соответствует случай, когда квадратное уравнение имеет ровно один действительный корень. Это происходит, когда дискриминант ($D$) уравнения равен нулю.

Дискриминант квадратного уравнения $Ax^2 + Bx + C = 0$ находится по формуле $D = B^2 - 4AC$. В нашем случае коэффициенты равны:
$A = 1$
$B = -2$
$C = -(a+4)$

Вычислим дискриминант:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(a+4))$

$D = 4 - 4(-a-4)$

$D = 4 + 4a + 16$

$D = 4a + 20$

Приравняем дискриминант к нулю и найдем искомое значение параметра $a$:

$4a + 20 = 0$

$4a = -20$

$a = \frac{-20}{4}$

$a = -5$

Таким образом, при $a=-5$ прямая и парабола имеют одну общую точку (касаются).

Ответ: $-5$.