Номер 7.23, страница 76 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.23, страница 76.

Условие.

7.23. При каких значениях параметра $a$ функция $y = -x^2 - 2ax + 1$ убывает на промежутке $[-3; -2]$?

Решение.

Заданная функция $y = -x^2 - 2ax + 1$ является квадратичной. Графиком этой функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный (равен $-1$), ветви параболы направлены вниз.

Такая парабола возрастает на промежутке до своей вершины и убывает на промежутке после вершины. Абсцисса вершины параболы $x_v$ находится по формуле $x_v = -B/(2A)$, где в нашем уравнении $A = -1$ и $B = -2a$.

Вычислим абсциссу вершины: $x_v = \frac{-(-2a)}{2 \cdot (-1)} = \frac{2a}{-2} = -a$.

Следовательно, функция $y$ убывает на промежутке $[-a; +\infty)$.

Согласно условию задачи, функция должна убывать на промежутке $[-3; -2]$. Это означает, что промежуток $[-3; -2]$ должен полностью содержаться в промежутке убывания функции.

Запишем это условие в виде включения множеств: $[-3; -2] \subseteq [-a; +\infty)$.

Для того чтобы это условие выполнялось, необходимо и достаточно, чтобы левая граница промежутка $[-3; -2]$ была не меньше, чем левая граница промежутка $[-a; +\infty)$. То есть, $-3$ должно быть больше или равно $-a$.

Составим и решим соответствующее неравенство: $-3 \ge -a$.

Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив при этом знак неравенства на противоположный: $3 \le a$, что равносильно $a \ge 3$.

Таким образом, искомые значения параметра $a$ принадлежат промежутку $[3; +\infty)$.

Ответ: $a \ge 3$.