Номер 7.34, страница 77 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.34, страница 77.

Условие.

7.34. О квадратичной функции $f$ известно, что $f(-3) = f(7)$. Найдите все значения $x$, при которых $f(x) = f(3)$.

Решение.

Поскольку $f(x)$ — квадратичная функция, её график представляет собой параболу. Ключевым свойством параболы является её симметрия относительно вертикальной оси, проходящей через вершину. Пусть абсцисса вершины (и ось симметрии) — $x_v$.

Из условия $f(-3) = f(7)$ следует, что точки на параболе с абсциссами $-3$ и $7$ имеют одинаковую ординату. В силу симметрии параболы, эти точки должны быть расположены на одинаковом расстоянии от оси симметрии. Это означает, что ось симметрии находится ровно посередине между $x = -3$ и $x = 7$.

Найдём абсциссу вершины $x_v$ как среднее арифметическое значений $-3$ и $7$:

$x_v = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Таким образом, ось симметрии параболы — это прямая $x = 2$.

Теперь нам необходимо найти все значения $x$, при которых выполняется равенство $f(x) = f(3)$.

Одно из решений очевидно: $x = 3$. Чтобы найти второе решение, воспользуемся тем же свойством симметрии. Если существует другое значение $x_1$, такое что $f(x_1) = f(3)$ и $x_1 \neq 3$, то точки с абсциссами $3$ и $x_1$ должны быть симметричны относительно оси $x = 2$.

Это означает, что $2$ является полусуммой $3$ и $x_1$:

$\frac{3 + x_1}{2} = 2$

Решим это уравнение, чтобы найти $x_1$:

$3 + x_1 = 2 \cdot 2$

$3 + x_1 = 4$

$x_1 = 4 - 3$

$x_1 = 1$

Следовательно, значениями $x$, при которых $f(x) = f(3)$, являются $x=1$ и $x=3$.

Ответ: 1; 3.