Номер 7.41, страница 77 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.41, страница 77.

Условие.

7.41. Постройте график функции:

1) $y = |x^2 - 2|x||;$

2) $y = ||x^2 - 2|x|| - 3|;$

Решение.

1) $y = |x^2 - 2|x||$

Для построения графика этой функции воспользуемся методом последовательных преобразований.

Шаг 1: Построим график параболы $y_1 = x^2 - 2x$.

Это парабола с ветвями, направленными вверх. Найдем ее вершину и точки пересечения с осями координат.
Координаты вершины: $x_0 = -b/(2a) = -(-2)/(2 \cdot 1) = 1$.
$y_0 = 1^2 - 2 \cdot 1 = -1$. Вершина находится в точке $(1, -1)$.
Точки пересечения с осью Ox (нули функции): $x^2 - 2x = 0 \implies x(x-2) = 0$. Корни $x=0$ и $x=2$.
Точка пересечения с осью Oy: $y(0) = 0$. График проходит через начало координат.

Шаг 2: Построим график функции $y_2 = x^2 - 2|x|$.

Заметим, что $x^2 = |x|^2$, поэтому функцию можно записать как $y_2 = |x|^2 - 2|x|$. Эта функция является четной, так как $y_2(-x) = (-x)^2 - 2|-x| = x^2 - 2|x| = y_2(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси Oy.
Для $x \ge 0$, $|x| = x$, и функция принимает вид $y_2 = x^2 - 2x$. То есть, для $x \ge 0$ график $y_2$ совпадает с графиком $y_1$.
Таким образом, мы берем часть параболы $y_1 = x^2 - 2x$, расположенную в правой полуплоскости ($x \ge 0$), и симметрично отражаем ее относительно оси Oy, чтобы получить часть графика для $x < 0$.
В результате получим график, состоящий из двух параболических ветвей. Ключевые точки: вершины в $(1, -1)$ и $(-1, -1)$, пересечения с осью Ox в точках $(-2, 0)$, $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

Шаг 3: Построим итоговый график $y = |x^2 - 2|x|| = |y_2|$.

Чтобы получить этот график, нужно взять график функции $y_2$ из предыдущего шага и отразить все его части, которые находятся ниже оси Ox, симметрично относительно этой оси. Части графика, которые находятся выше или на оси Ox, остаются без изменений.
Части графика $y_2$ ниже оси Ox находятся на интервалах $(-2, 0)$ и $(0, 2)$. Вершины этих участков - точки $(-1, -1)$ и $(1, -1)$.
При отражении этих участков вверх, вершины переходят в точки $(-1, 1)$ и $(1, 1)$, которые становятся локальными максимумами.
Точка $(0, 0)$ остается на месте и является локальным минимумом. Точки $(-2, 0)$ и $(2, 0)$ также остаются на месте.

Ответ: График функции $y = |x^2 - 2|x||$ симметричен относительно оси Oy. Он имеет локальные максимумы в точках $(-1, 1)$ и $(1, 1)$, локальный минимум в точке $(0, 0)$. График пересекает ось Ox в точках $x = -2$, $x = 0$ и $x = 2$. При $x \to \pm\infty$, $y \to +\infty$. График напоминает букву "W" с закругленными нижними частями, отраженными вверх.

2) $y = ||x^2 - 2|x|| - 3|$

Для построения этого графика мы будем использовать график функции $g(x) = |x^2 - 2|x||$, построенный в предыдущем пункте.

Шаг 1: Построим график функции $y_1 = |x^2 - 2|x|| - 3$.

Этот график получается из графика $g(x) = |x^2 - 2|x||$ путем сдвига на 3 единицы вниз вдоль оси Oy.
Ключевые точки графика $g(x)$ смещаются:
- Локальные максимумы $(-1, 1)$ и $(1, 1)$ переходят в точки $(-1, -2)$ и $(1, -2)$.
- Локальный минимум $(0, 0)$ переходит в точку $(0, -3)$.
- Точки пересечения с осью Ox $(-2, 0)$ и $(2, 0)$ переходят в точки $(-2, -3)$ и $(2, -3)$.

Шаг 2: Найдем точки пересечения графика $y_1$ с осью Ox.

Для этого решим уравнение $y_1 = 0$:
$|x^2 - 2|x|| - 3 = 0 \implies |x^2 - 2|x|| = 3$.
Это уравнение распадается на два:
а) $x^2 - 2|x| = 3 \implies |x|^2 - 2|x| - 3 = 0$.
Пусть $t = |x|$, где $t \ge 0$. Получаем квадратное уравнение $t^2 - 2t - 3 = 0$. Его корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$. Так как $t \ge 0$, подходит только $t = 3$. Тогда $|x| = 3$, откуда $x = 3$ и $x = -3$.
б) $x^2 - 2|x| = -3 \implies |x|^2 - 2|x| + 3 = 0$.
Пусть $t = |x|$, $t \ge 0$. Уравнение $t^2 - 2t + 3 = 0$. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 < 0$. Действительных корней нет.
Таким образом, график $y_1$ пересекает ось Ox в точках $x = -3$ и $x = 3$.

Шаг 3: Построим итоговый график $y = ||x^2 - 2|x|| - 3| = |y_1|$.

Чтобы получить этот график, нужно взять график функции $y_1$ и отразить все его части, которые находятся ниже оси Ox, симметрично относительно этой оси.
Из Шага 2 мы знаем, что график $y_1$ находится ниже оси Ox на интервале $(-3, 3)$.
Следовательно, часть графика на этом интервале отражается вверх.
- Точки $(-1, -2)$ и $(1, -2)$ переходят в локальные максимумы $(-1, 2)$ и $(1, 2)$.
- Точка $(0, -3)$ переходит в локальный максимум $(0, 3)$.
- Точки пересечения $(-3, 0)$ и $(3, 0)$ остаются на месте и становятся точками излома (локальными минимумами).
Части графика $y_1$ для $x \le -3$ и $x \ge 3$ находятся выше оси Ox, поэтому они остаются без изменений.

Ответ: График функции $y = ||x^2 - 2|x|| - 3|$ симметричен относительно оси Oy. Он имеет локальные максимумы в точках $(0, 3)$, $(-1, 2)$ и $(1, 2)$. Локальные минимумы находятся в точках $(-3, 0)$ и $(3, 0)$, где график касается оси Ox. При $x \to \pm\infty$, $y \to +\infty$.