Номер 7.48, страница 78 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.48, страница 78.

Условие.

7.48. Установите, сколько корней имеет уравнение в зависимости от значения параметра a:

1) $\vert x^2 - 2\vert x\vert - 3\vert = a;$

2) $x^2 - 4\vert x - 1\vert - 1 = a.$

Решение.

1)

Для определения количества корней уравнения $|x^2 - 2|x| - 3| = a$ в зависимости от параметра $a$ воспользуемся графическим методом. Построим график функции $y = |x^2 - 2|x| - 3|$ и найдем количество точек пересечения этого графика с горизонтальной прямой $y = a$.

Функция $y = f(x) = |x^2 - 2|x| - 3|$ является четной, так как $f(-x) = |(-x)^2 - 2|-x| - 3| = |x^2 - 2|x| - 3| = f(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY). Поэтому достаточно построить график для $x \ge 0$ и затем отразить его симметрично относительно оси OY.

При $x \ge 0$ имеем $|x| = x$, и функция принимает вид $y = |x^2 - 2x - 3|$.

Рассмотрим параболу $g(x) = x^2 - 2x - 3$. Ее ветви направлены вверх. Найдем ее вершину и нули.

Координата вершины по оси абсцисс: $x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.
Координата вершины по оси ординат: $y_v = 1^2 - 2(1) - 3 = -4$.
Вершина находится в точке $(1, -4)$.

Нули функции $g(x)$: $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Для построения графика $y = |x^2 - 2x - 3|$ часть графика $g(x)$, расположенную ниже оси OX (где $g(x) < 0$), следует отразить симметрично относительно оси OX.

На промежутке $[0, +\infty)$ парабола $g(x)$ пересекает ось OY в точке $(0, -3)$ и ось OX в точке $(3, 0)$. Вершина находится в точке $(1, -4)$.

Следовательно, график $y = |x^2 - 2x - 3|$ для $x \ge 0$:

• Начинается в точке $(0, |-3|) = (0, 3)$.
• Вершина параболы $(1, -4)$ отражается в точку $(1, 4)$, которая является локальным максимумом.
• Нуль функции в точке $(3, 0)$ остается на месте и является локальным минимумом.
• При $x > 3$ функция возрастает.

Теперь отразим полученный для $x \ge 0$ график симметрично относительно оси OY, чтобы получить полный график функции $y = |x^2 - 2|x| - 3|$.
Ключевые точки графика:

• Локальные максимумы в точках $(1, 4)$ и $(-1, 4)$.
• Локальный минимум в точке $(0, 3)$.
• Глобальные минимумы (нули функции) в точках $(3, 0)$ и $(-3, 0)$.

Анализируем количество пересечений прямой $y=a$ с построенным графиком:

• Если $a < 0$, прямая $y=a$ не пересекает график, так как $|...| \ge 0$. Корней нет.
• Если $a = 0$, прямая касается графика в точках минимума. 2 корня ($x = \pm 3$).
• Если $0 < a < 3$, прямая пересекает график в 4 точках. 4 корня.
• Если $a = 3$, прямая проходит через локальный минимум $(0, 3)$ и пересекает еще 4 ветви графика. 5 корней.
• Если $3 < a < 4$, прямая пересекает график в 6 точках. 6 корней.
• Если $a = 4$, прямая проходит через локальные максимумы $(-1, 4)$ и $(1, 4)$ и пересекает еще 2 ветви. 4 корня.
• Если $a > 4$, прямая пересекает две самые крайние ветви графика. 2 корня.

Ответ:
при $a < 0$ — нет корней;
при $a = 0$ — 2 корня;
при $0 < a < 3$ — 4 корня;
при $a = 3$ — 5 корней;
при $3 < a < 4$ — 6 корней;
при $a = 4$ — 4 корня;
при $a > 4$ — 2 корня.

2)

Рассмотрим уравнение $x^2 - 4|x - 1| - 1 = a$. Для определения количества корней построим график функции $y = x^2 - 4|x - 1| - 1$ и найдем количество его пересечений с горизонтальной прямой $y=a$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$.
В этом случае $|x - 1| = x - 1$, и функция принимает вид:
$y = x^2 - 4(x - 1) - 1 = x^2 - 4x + 4 - 1 = x^2 - 4x + 3$.
Это парабола с ветвями вверх. Координаты ее вершины: $x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.
$y_v = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.
Вершина находится в точке $(2, -1)$. Так как $2 \ge 1$, эта точка принадлежит рассматриваемому участку графика. На границе промежутка, в точке $x=1$, значение функции $y(1) = 1^2 - 4(1) + 3 = 0$.

Случай 2: $x - 1 < 0$, то есть $x < 1$.
В этом случае $|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$, и функция принимает вид:
$y = x^2 - 4(1 - x) - 1 = x^2 + 4x - 4 - 1 = x^2 + 4x - 5$.
Это парабола с ветвями вверх. Координаты ее вершины: $x_v = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.
$y_v = (-2)^2 + 4(-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$.
Вершина находится в точке $(-2, -9)$. Так как $-2 < 1$, эта точка принадлежит рассматриваемому участку графика. На границе промежутка, в точке $x=1$, значение функции $y(1) = 1^2 + 4(1) - 5 = 0$.

Функция непрерывна, так как в точке "склейки" $x=1$ значения совпадают. График состоит из двух частей парабол, соединенных в точке $(1, 0)$.

Ключевые точки графика:

• Глобальный минимум в точке $(-2, -9)$.
• Локальный минимум в точке $(2, -1)$.
• Точка "излома" графика в точке $(1, 0)$.

Анализируем количество пересечений прямой $y=a$ с построенным графиком:

• Если $a < -9$, прямая $y=a$ находится ниже глобального минимума. Корней нет.
• Если $a = -9$, прямая касается графика в точке глобального минимума. 1 корень ($x=-2$).
• Если $-9 < a < -1$, прямая пересекает левую часть графика в двух точках. 2 корня.
• Если $a = -1$, прямая касается графика в точке локального минимума $(2, -1)$ и пересекает левую часть в двух точках. 3 корня.
• Если $-1 < a < 0$, прямая пересекает обе части графика в двух точках каждую. 4 корня.
• Если $a = 0$, прямая проходит через точку излома $(1, 0)$ и пересекает каждую из ветвей еще по одному разу (в точках $x=-5$ и $x=3$). 3 корня.
• Если $a > 0$, прямая пересекает каждую из двух крайних ветвей графика по одному разу. 2 корня.

Ответ:
при $a < -9$ — нет корней;
при $a = -9$ — 1 корень;
при $-9 < a < -1$ — 2 корня;
при $a = -1$ — 3 корня;
при $-1 < a < 0$ — 4 корня;
при $a = 0$ — 3 корня;
при $a > 0$ — 2 корня.