Номер 7.52, страница 78 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.52, страница 78.

Условие.

7.52. Известно, что $2p - q = 4$. Докажите, что все параболы вида $y = x^2 + px + q$ проходят через одну точку.

Решение.

Нам дано семейство парабол $y = x^2 + px + q$ и условие, связывающее коэффициенты $p$ и $q$: $2p - q = 4$.

Наша задача — доказать, что все эти параболы проходят через одну и ту же точку, координаты которой не зависят от выбора конкретных $p$ и $q$ (удовлетворяющих условию).

Для этого выразим один из коэффициентов через другой из заданного условия. Удобнее всего выразить $q$:

$q = 2p - 4$

Теперь подставим это выражение в уравнение параболы:

$y = x^2 + px + (2p - 4)$

Мы ищем точку $(x_0, y_0)$, которая будет принадлежать графику этой функции при любом значении параметра $p$. Чтобы найти эту точку, сгруппируем слагаемые в уравнении так, чтобы выделить общий множитель $p$:

$y = x^2 + px + 2p - 4$

$y = (x^2 - 4) + p(x + 2)$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$y - (x^2 - 4) - p(x + 2) = 0$

Это равенство должно выполняться для любого значения $p$. Это возможно только в том случае, если коэффициент при $p$ и свободный член (относительно $p$) одновременно равны нулю. Таким образом, мы получаем систему из двух уравнений:

$\begin{cases}x + 2 = 0 \\y - (x^2 - 4) = 0\end{cases}$

Решим эту систему. Из первого уравнения сразу находим координату $x$:

$x = -2$

Подставим это значение во второе уравнение, чтобы найти координату $y$:

$y - ((-2)^2 - 4) = 0$

$y - (4 - 4) = 0$

$y - 0 = 0$

$y = 0$

Мы получили, что точка с координатами $(-2, 0)$ удовлетворяет уравнению параболы при любом значении $p$. Следовательно, все параболы вида $y = x^2 + px + q$, где $2p - q = 4$, проходят через одну и ту же точку $(-2, 0)$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что все параболы проходят через одну общую точку. Координаты этой точки $(-2, 0)$.