Номер 7.55, страница 78 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.55, страница 78.

Условие.

7.55. Параметр $a$ принимает все действительные значения. Докажите, что вершины парабол $f(x) = x^2 - 2ax + 2a^2 + 1$ образуют параболу.

Решение.

Данная функция $f(x) = x^2 - 2ax + 2a^2 + 1$ задает семейство парабол, где каждая парабола определяется значением параметра $a$.

Чтобы доказать, что вершины этих парабол образуют параболу, найдем координаты вершины $(x_v, y_v)$ в зависимости от параметра $a$.

Координаты вершины параболы, заданной уравнением $y = Ax^2 + Bx + C$, находятся по формуле для абсциссы $x_v = -\\frac{B}{2A}$. Ордината $y_v$ находится подстановкой $x_v$ в уравнение параболы: $y_v = f(x_v)$.

В нашем случае, для параболы $f(x) = x^2 - 2ax + 2a^2 + 1$, коэффициенты равны: $A=1$, $B=-2a$, $C=2a^2+1$.

1. Находим абсциссу вершины $x_v$:

$x_v = -\\frac{-2a}{2 \\cdot 1} = \\frac{2a}{2} = a$

2. Находим ординату вершины $y_v$, подставляя $x = x_v = a$ в уравнение функции:

$y_v = f(a) = a^2 - 2a(a) + 2a^2 + 1 = a^2 - 2a^2 + 2a^2 + 1 = a^2 + 1$

Таким образом, для любого действительного значения параметра $a$, координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ определяются как $(a, a^2 + 1)$.

Теперь установим зависимость между $y_v$ и $x_v$, чтобы найти уравнение кривой, которую образуют эти вершины. Мы имеем параметрическую систему:

$\\begin{cases} x_v = a \\\\ y_v = a^2 + 1 \\end{cases}$

Из первого уравнения следует, что $a = x_v$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$y_v = (x_v)^2 + 1$

Если обозначить координаты вершин просто как $(x, y)$, то мы получим уравнение $y = x^2 + 1$.

Это уравнение является уравнением параболы, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, 1)$. Так как параметр $a$ принимает все действительные значения, то и $x_v = a$ также принимает все действительные значения, пробегая всю параболу $y = x^2 + 1$.

Ответ: Доказано, что вершины парабол $f(x) = x^2 - 2ax + 2a^2 + 1$ образуют параболу, заданную уравнением $y = x^2 + 1$.