Номер 7.53, страница 78 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.53, страница 78.

Условие.

7.53. Функция $f(x) = x^2 + px + q$ принимает только неотрицательные значения. Найдите наименьшее значение выражения $p + q$.

Решение.

Функция $f(x) = x^2 + px + q$ является квадратичной, ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

Условие, что функция принимает только неотрицательные значения, означает, что $f(x) \ge 0$ для всех действительных чисел $x$. Для параболы с ветвями вверх это возможно только в том случае, если она не имеет точек пересечения с осью абсцисс или имеет ровно одну точку касания. Это, в свою очередь, означает, что дискриминант $D$ квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ должен быть меньше или равен нулю.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае $a=1$, $b=p$, $c=q$, поэтому:

$D = p^2 - 4q$

Исходя из условия $D \le 0$, получаем неравенство:

$p^2 - 4q \le 0$

Из этого неравенства можно выразить $q$:

$4q \ge p^2$

$q \ge \frac{p^2}{4}$

Теперь рассмотрим выражение $p+q$, наименьшее значение которого нам нужно найти. Используя полученное неравенство, мы можем оценить это выражение:

$p+q \ge p + \frac{p^2}{4}$

Чтобы найти наименьшее значение $p+q$, нам нужно найти наименьшее значение выражения $g(p) = \frac{p^2}{4} + p$. Это также квадратичная функция от переменной $p$, график которой — парабола с ветвями вверх. Ее наименьшее значение достигается в вершине.

Координата вершины параболы $y = ax^2+bx+c$ находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Для $g(p) = \frac{1}{4}p^2 + p$ имеем $a = \frac{1}{4}$ и $b=1$.

Найдем значение $p$, при котором достигается минимум:

$p_0 = -\frac{1}{2 \cdot \frac{1}{4}} = -\frac{1}{\frac{1}{2}} = -2$

Теперь найдем само минимальное значение, подставив $p = -2$ в выражение $g(p)$:

$g(-2) = \frac{(-2)^2}{4} + (-2) = \frac{4}{4} - 2 = 1 - 2 = -1$

Таким образом, наименьшее возможное значение для $p+q$ равно $-1$. Оно достигается, когда $p = -2$ и $q$ принимает свое минимально возможное значение, то есть $q = \frac{p^2}{4} = \frac{(-2)^2}{4} = 1$.

При $p=-2$ и $q=1$ функция $f(x) = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$, что действительно всегда $\ge 0$. Значение выражения $p+q$ при этом равно $-2+1 = -1$.

Ответ: $-1$