Номер 7.54, страница 78 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.54, страница 78.

Условие.

7.54. Параметр $a$ принимает все действительные значения. Докажите, что вершины парабол $f(x) = -x^2 + 2ax - a^2 + a + 1$ образуют прямую.

Решение.

Для доказательства найдем координаты вершины параболы $f(x) = -x^2 + 2ax - a^2 + a + 1$ как функции от параметра $a$.

Координата абсциссы $x_0$ вершины параболы вида $y = Ax^2 + Bx + C$ находится по формуле $x_0 = -\frac{B}{2A}$. В данном случае коэффициенты параболы равны $A = -1$, $B = 2a$, $C = -a^2 + a + 1$.

Вычислим абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{2a}{2 \cdot (-1)} = \frac{-2a}{-2} = a$

Теперь найдем ординату вершины $y_0$, подставив найденное значение $x_0 = a$ в уравнение функции $f(x)$:

$y_0 = f(a) = -(a)^2 + 2a(a) - a^2 + a + 1$

$y_0 = -a^2 + 2a^2 - a^2 + a + 1$

$y_0 = a + 1$

Таким образом, для любого действительного значения параметра $a$ координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ равны $(a, a+1)$.

Мы получили параметрическое задание множества всех вершин:

$x_0 = a$

$y_0 = a + 1$

Чтобы найти уравнение, связывающее координаты $x_0$ и $y_0$ напрямую, исключим параметр $a$. Из первого уравнения имеем $a = x_0$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$y_0 = x_0 + 1$

Это уравнение является уравнением прямой линии. Поскольку параметр $a$ принимает все действительные значения, то и абсцисса вершины $x_0=a$ также принимает все действительные значения. Это означает, что геометрическое место точек вершин данных парабол представляет собой прямую $y = x + 1$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Вершины парабол образуют прямую, заданную уравнением $y = x + 1$.