Номер 7.61, страница 79 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.61, страница 79.

Условие.

7.61. При каких значениях параметра $a$ сумма квадратов корней уравнения $x^2 - 2ax + a^2 - a + 1 = 0$ будет наименьшей?

Решение.

Данное уравнение $x^2 - 2ax + a^2 - a + 1 = 0$ является квадратным. Для существования действительных корней необходимо, чтобы его дискриминант $D$ был неотрицателен, то есть $D \ge 0$.

Найдем дискриминант:

$D = (-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - a + 1) = 4a^2 - 4a^2 + 4a - 4 = 4a - 4$.

Решим неравенство $D \ge 0$:

$4a - 4 \ge 0$

$4a \ge 4$

$a \ge 1$

Следовательно, уравнение имеет действительные корни только при $a \in [1; +\infty)$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения. Требуется найти значение $a$, при котором сумма квадратов корней $x_1^2 + x_2^2$ будет наименьшей.

Согласно теореме Виета для данного уравнения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-2a) = 2a$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = a^2 - a + 1$.

Сумму квадратов корней можно выразить через их сумму и произведение:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Подставив выражения из теоремы Виета, получим функцию суммы квадратов корней от параметра $a$:

$S(a) = (2a)^2 - 2(a^2 - a + 1) = 4a^2 - 2a^2 + 2a - 2 = 2a^2 + 2a - 2$.

Теперь задача сводится к нахождению наименьшего значения функции $S(a) = 2a^2 + 2a - 2$ на промежутке $a \in [1; +\infty)$.

График функции $S(a)$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $a^2$ положителен (равен 2). Наименьшее значение квадратичная функция принимает в своей вершине.

Найдем абсциссу вершины параболы $a_v$:

$a_v = -\frac{2}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2}$.

Вершина параболы находится в точке $a = -1/2$. Это значение не принадлежит рассматриваемому промежутку $[1; +\infty)$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция $S(a)$ убывает при $a < -1/2$ и возрастает при $a > -1/2$. Наш промежуток $[1; +\infty)$ целиком лежит правее вершины, следовательно, на этом промежутке функция $S(a)$ является монотонно возрастающей.

Наименьшее значение на возрастающем отрезке функция принимает в его левой границе. В данном случае это точка $a = 1$.

Таким образом, сумма квадратов корней будет наименьшей при $a = 1$.

Ответ: $a = 1$.