Номер 7.63, страница 79 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.63, страница 79.

Условие.

7.63. Определите количество корней уравнения $x^4 + 2ax^2 - x + a^2 + a = 0$ в зависимости от значения параметра $a$.

Решение.

Рассмотрим исходное уравнение $x^4 + 2ax^2 - x + a^2 + a = 0$ как квадратное уравнение относительно параметра $a$.

Сгруппируем члены, содержащие $a$:
$a^2 + (2x^2 + 1)a + (x^4 - x) = 0$.

Найдем дискриминант этого уравнения относительно $a$:
$D_a = (2x^2 + 1)^2 - 4(x^4 - x) = 4x^4 + 4x^2 + 1 - 4x^4 + 4x = 4x^2 + 4x + 1 = (2x + 1)^2$.

Поскольку дискриминант является полным квадратом, мы можем выразить $a$ через $x$:
$a = \frac{-(2x^2 + 1) \pm \sqrt{(2x + 1)^2}}{2} = \frac{-2x^2 - 1 \pm (2x + 1)}{2}$.

Это приводит к двум случаям:
1) $a = \frac{-2x^2 - 1 + 2x + 1}{2} = \frac{-2x^2 + 2x}{2} = -x^2 + x$, что эквивалентно уравнению $x^2 - x + a = 0$.
2) $a = \frac{-2x^2 - 1 - (2x + 1)}{2} = \frac{-2x^2 - 2x - 2}{2} = -x^2 - x - 1$, что эквивалентно уравнению $x^2 + x + a + 1 = 0$.

Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности двух квадратных уравнений:
$\left[ \begin{gathered} x^2 - x + a = 0 \\ x^2 + x + a + 1 = 0 \end{gathered} \right.$

Количество корней исходного уравнения равно общему числу различных действительных корней этих двух уравнений. Исследуем каждое уравнение отдельно.

Для первого уравнения $x^2 - x + a = 0$ дискриминант $D_1 = (-1)^2 - 4a = 1 - 4a$.
- Уравнение имеет два различных корня при $D_1 > 0$, то есть при $a < 1/4$.
- Уравнение имеет один корень при $D_1 = 0$, то есть при $a = 1/4$.
- Уравнение не имеет действительных корней при $D_1 < 0$, то есть при $a > 1/4$.

Для второго уравнения $x^2 + x + a + 1 = 0$ дискриминант $D_2 = 1^2 - 4(a + 1) = 1 - 4a - 4 = -4a - 3$.
- Уравнение имеет два различных корня при $D_2 > 0$, то есть при $a < -3/4$.
- Уравнение имеет один корень при $D_2 = 0$, то есть при $a = -3/4$.
- Уравнение не имеет действительных корней при $D_2 < 0$, то есть при $a > -3/4$.

Теперь выясним, могут ли эти два уравнения иметь общие корни. Если $x_0$ — общий корень, то он удовлетворяет обоим уравнениям:
$\left\{ \begin{aligned} x_0^2 - x_0 + a = 0 \\ x_0^2 + x_0 + a + 1 = 0 \end{aligned} \right.$
Вычитая первое уравнение из второго, получаем: $(x_0^2 + x_0 + a + 1) - (x_0^2 - x_0 + a) = 0 \implies 2x_0 + 1 = 0 \implies x_0 = -1/2$.
Подставим $x_0 = -1/2$ в первое уравнение, чтобы найти соответствующее значение $a$:
$(-1/2)^2 - (-1/2) + a = 0 \implies 1/4 + 1/2 + a = 0 \implies 3/4 + a = 0 \implies a = -3/4$.
Таким образом, уравнения имеют общий корень только при $a = -3/4$.

Рассмотрим количество корней в зависимости от значения параметра $a$, основываясь на критических точках $a = -3/4$ и $a = 1/4$.

При $a < -3/4$:
$D_1 = 1 - 4a > 1 - 4(-3/4) = 4 > 0$, первое уравнение имеет 2 различных корня.
$D_2 = -4a - 3 > -4(-3/4) - 3 = 0$, второе уравнение имеет 2 различных корня.
Поскольку $a \ne -3/4$, общих корней нет. Общее число корней $2 + 2 = 4$.
Ответ: 4 корня.

При $a = -3/4$:
$D_1 = 1 - 4(-3/4) = 4 > 0$, первое уравнение $x^2 - x - 3/4 = 0$ имеет 2 различных корня: $x = \frac{1 \pm \sqrt{4}}{2}$, то есть $x_1 = 3/2$ и $x_2 = -1/2$.
$D_2 = -4(-3/4) - 3 = 0$, второе уравнение $x^2 + x + 1/4 = 0$ имеет 1 корень (двойной кратности): $x_3 = -1/2$.
Объединяя множества корней $\{3/2, -1/2\}$ и $\{-1/2\}$, получаем множество различных корней $\{3/2, -1/2\}$. Общее число различных корней равно 2.
Ответ: 2 корня.

При $-3/4 < a < 1/4$:
$D_1 = 1 - 4a > 0$, первое уравнение имеет 2 различных корня.
$D_2 = -4a - 3 < 0$, второе уравнение не имеет действительных корней.
Общее число корней равно 2.
Ответ: 2 корня.

При $a = 1/4$:
$D_1 = 1 - 4(1/4) = 0$, первое уравнение $x^2 - x + 1/4 = 0$ имеет 1 корень (двойной кратности): $x = 1/2$.
$D_2 = -4(1/4) - 3 = -4 < 0$, второе уравнение не имеет действительных корней.
Общее число корней равно 1.
Ответ: 1 корень.

При $a > 1/4$:
$D_1 = 1 - 4a < 0$, первое уравнение не имеет действительных корней.
$D_2 = -4a - 3 < -4(1/4) - 3 = -4 < 0$, второе уравнение не имеет действительных корней.
Общее число корней равно 0.
Ответ: 0 корней.